材料力学——第13章(能量法)

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1、第13章能量法及其应用§13-1应变能的计算§13-2互等定理§13-3卡式第二定理§13-4求解位移的单位荷载法（莫尔积分法）§13-5计算莫尔积分的图形互乘法§13-6能量法求解超静定问题简介利用功能原理解决工程结构位移或杆件变形等有关问题的方法,称为能量法§13-1应变能的计算在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称变形能(应变能）。物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即FPF1PVWFP单位：lJ，N.mFP2l

2、lFP一、基本变形情况下杆件的应变能1、轴向拉伸和压缩FPll2EA11FPlVWFlP2EAF2P2FlN2EAFP21F(x)VNdx2EAlllFP2、扭转TTT211TlTlVWTT22GI2GIpp21T(x)Vdx22GIlp3、弯曲M(x)dxEIl纯弯曲：2211mlmlMlVWmm22EI2EI2EI21M(x)横力弯曲：Vdx2EIl★对于一般实心截面的细长梁，它的剪切应变能远小于其弯曲应变能，通常忽略不计。[例13

3、-1]如图所示的三根圆截面拉杆，其支承、材料、荷载、长度均相同，但直径的变化不同，试求三杆的应变能比值。解：对于1杆，有22Fl2FlVNP122EAEd1对于2杆，有3122FlFl2PP7Fl44PV2222(2d)(d)8Ed2E2E44对于3杆，有7122FlFl2PP11Fl88PV3222(2d)(d)16Ed2E2E44所以711V:V:V2::1238167111::1632结论：在荷载相同的情况下，杆件体积越大，杆内积蓄的应变能越小二、克拉比隆定理线弹性体没有刚

4、性位移时刻保持平衡线弹性体的应变能等于各广义力与其相应的广义位移乘积之半的总和。111VFPiFp11Fp22i222三、组合变形截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。F2(x)22T(x)M(x)VNdxdxdx2EA2GI2EIllpl★对于以弯曲变形为主的杆件，因轴力和剪力远小于弯矩的影响，所以计算时，通常不计轴力和剪力的影响。F2(x)22T(x)M(x)VNdxdxdx2EA2GI2EIllpl★应变能

5、和外力功是外力或者位移的二次函数，上式不能视为叠加原理。22M(x)[M(x)M(x)]Vdx12dx2EI2EIll22M(x)M(x)M(x)M(x)1dx2dx12dx2EI2EIEIlll★一般情况下，同一种力引起的应变能不能简单叠加。组合变形应变能叠加是由于横截面内力仅在自身产生的变形上做功，其应变能与其他内力引起的变形无关。【例13-1】如图所示求梁的应变能解：方法一：按外力功计算根据变形表可查，322FlMlFlMlPePeAA3EI2EI2EIEI11VWFM

6、PAeA22F2l3FMl22MelPPe6EI2EI2EI方法二：按内力功计算M(x)(MFx)eP2[(MFx)]VePdx2EIlF2l3FMl22MelPPe两种计算结果完全一致6EI2EI2EI★用内力功来计算应变能。【例13-2】试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度。（EI为常数）FPF解：PM(x)FxP2M(x)l2F2l3Vdx(FPx)P2EIdxl2EI6EI01WFPB23Fl与查挠度表或积分P由VW，得B法计算结果完全一

7、3EI致【例13-3】试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。（EI为常数）FP解：22FbFa2PxPxM(x)a1b2Vdxldxldxl2EI122EI2EI00223223222FbaFabFabPPP222EIl32EIl36EIlF1PWFPC2由VW，得：与查挠度表22Fab或积分法计P算结果完全C3EIl一致【例13-4】试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI为常量。FP2解：M(s)M(s)FRsin

8、VdsP2EIl222M()(FRsin)RdPRd2EI2EIl023FRP18EIWFPBV2FP由VW，得：R3FRPBV4EI【例13-5】试求图示正方形杆系结构的应变能，并求A、C两点的相对位移。已知各杆的拉压刚度EA相同。解：⑴求各