一道弦积范围问题的全方位探究

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1、学。题素刳折互联系的两个平行制约条件，缺一不司，否则取值范。题目如果sincos卢=_=II，求co8sin卢的取值2围会扩大．范围．解法二由sinacosflcOSO／Sin：_1sin2asin，分l楫全这道题由两[角的一个两弦之积的值，求两角的另一个两弦之积的范围．题目简捷明快、小巧又由于sindc。B=，从而有COSTSirsinsin，玲珑、内涵厚实、外延丰富．貌似简单，但一时难以下~lcosasi=l手又易错．富位有极强的探堪～究韵味．2lsin2asin≤{卿一l~

2、仅当Isin2aI—lsinl=l，即=詈+，詈+领悟到数学是究挥思维的体忠操挑之真谛．因为本题所涉及到mT~(k的知识与方法几乎覆盖了高中数学的“半壁江山”．,mEZ)．~Osina=cosJB=±时等号成立．誓■在兰角变换中探究故一2≤C08~8in≤2．解题过程其实就是条件与结沦互为有效转化的过程，转化需要依赖关系，找准关系需要知识，利蠲这一解法抓住了题目的个性特征，构思最巧妙．但要小心，在应用同向同正可乘性求最值用关系需要能力从整体看：题目条件与结论，通过时，只有两个不等式中的等号在同一条件下成立，等两角和与差的角函数、二倍角公式、三角函数定号才能传递，否则取值范围会扩大．义，分别

3、能找到_一个不同的间接关系；再从局部看：题目条件与结论中的同角正、余弦有着直接的平方螺诖三在角d终边上取一点P(m,rt)，使mz+关系．以上四个关系对应着四个视角，涉及到的知识／l2=1；再在角口终边上取一点Q(a，b)，使+6=1．由三与方法，基本囊括了三角函数的主体内容．角函数定义得cosa=m，sint~=n，cos：n，sinfl=b．3Zna：～1解濠一I~lsin(+79)=sinotcosfl+cosotsinfl=1+，贝0c。ssinjB：m26：(1-n2)(1一)：1+2‘(，z2+)：一()≤三c。ssi，又一1≤sin()≤l，即一l≤{+cosotsin卢≤一

4、44—2船=÷4，解得一2≤c。ssi≤1·，得一寻≤c。ssin卢≤{．①，当且仅当n=口，又，M仁{，即sin=c。sJB=I~tsin(d1B)=sinacosfl-cosasinfl=2-COS~Sin，时等号成立．故一{~

5、2otcos2B-sin：ct-cos~fl=5一34数学■r如右图所示，可行域sin2—c。s三4一(sina-cosf1)z_2sinc。=1一(sin—A为线段AB，易知当直线y=厂7一c。sJB)≤÷，解出一l~cosasi≤1，当且仅当sin：2z分别过点A(0，1)与——1／／点(1，0)时，直线y=x一2z／／1L0jc。8JB，又sic。s：_=1_截距一有最大值1和最小一tipsina=cosfl=±时等号—l，9值一1．从而得COSasinfl的取成立．故一≤COSO／Sin卢≤．值范围是l一÷，÷1．嚼在上述三角变换中，由于sincos卢=÷，固根据三角函数的有界性，

6、巧妙地将条件迁移为线性约束条件，结论化归为线性目标函数，用得／~sina与cosfl同号且都不为0，由此得sintX+COS2fl数形结合的方式求出三角函数式的取值范围．的最小值不为0；另外不能把sin+cos配凑为(sina+co~3)一2sinacosfl=(sina+cos,8)1，因为它的最小值不为一1．若两变量的积为定值，则这三量就隐含等比数列的特性．故可巧设公比，从而达到消元目的．式中探究麓漆七由i。。：，知sino~,二2_，c。s卢为求多元函数的最值，均值不等式是一个很重要的简捷手段，它是通过两正数的平方和、和、积、积开等比数列，设公比为口，得sinct=，。卢：_V'2-

7、_q方的直接关系来实现的，要优先考虑．，—毒五由均值不等式，得sinHcos≥2si眦co=1，l!ll—COSa+l—sin2fl≥1，即cosol+sin2fl≤1．则csin=(1-sin2a)(一c。s)=(一)(卜譬)=再由均值不等式，得1≥cosa+sin2~~21eoaasinfll，一()≤1，从而解得一言1≤c。ssin卢≤≥，由此解得一costXSin卢≤I1_，当且仅当Isinal=当且仅当：gz，