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1、一类垂直弦问题的探究谈圆锥曲线的一个统一结论浙江东阳顺风高中蒋元虎在近来的高考与竞赛屮，常出现与垂直弦有关的一类问题，不仅考杳了圆锥曲线的基木性质，也考查了学生运用性质解决问题的能力。通过对问题的分析和探究可知：这一类问题具有一定的规律性。现介绍如下：问题的呈现：（问题一）已知抛物线y2=2pxf过原点。作两条射线OA^OB分别交抛物线于A,B,且04丄求证直线过定点。解：设0A的斜率为04的方程为y=kx（2py=kx联立yj同理可得:B（2Pk2-2Pk）许旳A_]_k瞥2次”P“/.AB的方程为y+2pk=~^（兀一2冰2）化简整理得:（1次）y+（2“F=0易知佔
2、过定点go）问题的探究：探究之一：解法的探究通过对已知条件04丄0B的再认识以及考虑到抛物线上点的坐标假设的灵活性，我们可以得到如下解法：（方法二）解：设A（兀』）8（兀2.旳）ZAOB=90q.•.竺=_122即丁』2=一兀1兀2=一乎4•••）'/2=~4p24/r再由直线AB:=〉2_”（兀一兀J得y_x=2〃（兀一西）兀2一K>2+开即（儿+必））'—必力―yf=2px—2卩西・・・yj=2pxy}y2=-4p2:.（y}+y2）y+4p2=2px得：「（X+y2）y=2p（x-2p）故直线ABtii过定点（2”,0）（方法三）解:设A（2pa2pa）B（2pb
3、2pb）由得赛养"1即再山直线AB：y-2pa=2pb-2pa2pb2-2pa2y-2pa=x-2pa2a+b'即（6/+£>）y-2pab-2pa2=x-2pa2*rab=-1（a+b）y+2”=兀即:a+b^y=x-2p故直线AB恒过定点（2p,0）探究之二：问题的引申上述问题中原点。是一个特殊点，我们会想：如果把原点。换成其它的特殊点那又将如何呢？（问题二）：已知4（1,1）,风是抛物线y2=x±两个动点，且丄AC求证：直线3C经过一个定点，并求出定点的坐标。解：设B（X，yJ,c（）r，y2）"B丄AC.•.仏二亠•亠二―1、、>1+1旳+1即V1）?2+（）
4、〉+旳）+2=o而直线BC的方程为y-）1=[x-y^）i+儿化简可得：（必+[J+1）y+（2-兀）=0故有直线BC过定点（2,1）探究之三：问题的一般性通过以上的探究，我们自然会联想到对于给定的抛物线上任一点是否也冇类类似的结论呢？答案是肯定的。（问题三）：已知点A（兀o.Vo）是抛物线）?2=2/?x上的一个定点，RC是抛物线y2=2px上两个动点，RAB丄AC,则直线BC过定点（2°+兀0，儿）则有心〃•••4B丄AC^AB*—-2p>'i+）b-^=-1儿+儿得:川2=-儿（必+儿）一）叮一4卩2而而直线BC的方程为y-）［=色一兀-»整理可得必+力12p）（y】
5、+y2）y—）i〉‘2=2/zr即<：（y,+y2）（y-y0）=2/?（x-x0-2p）则直线BC过定点（2/7+X（）,>o）结论：抛物线上张直角的弦过定点。问题的再探究：考虑到抛物线是圆锥曲线的一种，由圆锥曲线的统一定义及性质的和似性，我们可以进一步地类比联想：椭圆和双ilh线也有同样的结论。2,2再探之一：（问题四）过椭圆亠+莓=1上一点（心,儿）张直角的弦过定点cT说明：设A（x0,y0）,弦为BC,这样只要证明眩BCH定点。既然要证明弦BC过定点,不妨设定点为（〃,「），这样就只要证明是定值就行。证明设总线BC的斜率为且过点仏巧，与椭圆交于〃（西））,"％』〉则
6、直线BC方程为：y—卩=—y-v=k^x-u^b2x2+a2y2=a2b2(b2+a咲2)兀2_2ka2^ku-v^x+a1(h/-v)2-a2b2=0(1)(2)(3)(/?2+a2k2^y2—2b2{ku—v)y+b2{ku—v)2—k2a2h2=0由(1)、(2)和韦达定理可得:_2ka2(ku-v)b2+a2k2a2-v)2-a2b2b2+a2k2_2bku-v)b2+a2k2）卩2b2(ku-v)2-k2a2b2b2+a2k2因为AB丄AC,若％、©c存在，则有S•忍c=J即H>‘2一儿(>1+>‘2)+>?02+X1X2-XO(X1+X2)+XO2=O将(3)
7、、(4)、5)、(6)代入(7)化简可得：(8)(9)(/+/?2)(h/-v)~+2(/?2y0-ka1x^{ku-+(/-货)(/勺2-用)=0解得(/+/?2)(h(-v)-(6Z2-/72)(fc¥o+yo)=O^ku-v=kxQ-)b（舍去）由（9）可知：［（/一（/一/?2）兀（）鸟一［（/+戾”+（/—bjy。=0（10）a2-b2二a2-b277产"一于市丁0时,不论k为何值,（10）式恒成立。因为是无0、a、b定值，故“、v亦为定值，即直线BC过定点（手仔X。,—车佯J（tr+/rcr+tr丿当比
