椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题

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1、椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题（1）过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，。若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点。（2）过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，。若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点。设的直线为，则的直线方程为，，，，，，由中点公式得，将用代换，得到的坐标的直线方程为，令，得所以直线恒过定点。（3）过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，。若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点。12（4）过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，。若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点。设的直线为，则的直线方程为，，，

2、，由中点公式得直线的方程为：，即，所以直线恒过定点。12重庆高2018级理科二诊20（本题满分12分）已知，是椭圆的左右焦点。（2）过作两条互相垂直的直线与（均不与轴重合）分别与椭圆交于四点。线段，的中点分别是，，求证：直线过定点，并求出该定点坐标。设直线，联立椭圆方程得：，，，,由题意，若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，所以若直线经过定点，则该定点一定是直线与的交点，该点必在轴上。设该定点坐标，，代入坐标化简得，所以过定点。12结论（一）以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点。推论1：以上顶

3、点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上。证明：设右顶点，设，，，，将换成得：由题意，若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，所以若直线经过定点，则该定点一定是直线与的交点，该点必在轴上。设该定点坐标，，，所以过定点。推论2：以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上。证明：设右顶点，设，，，，将换成得：由题意，若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，所以若直线经过定点，则该定点一定是直线与的交点，该点必在轴上。12设该定点坐标，，，所以过定点。下面

4、探求面积的最大值：代入椭圆得：，，当且仅当时等号成立取最大值。面积在单调递减。结论2：以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点，结论3：以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点重庆高2018级文科二诊20（本题满分12分）已知，是椭圆的左右焦点，为椭圆的上顶点。（2）过点作两条互相垂直的直线与椭圆交于，两点（异于点），证明：直线过定点，并求该定点的坐标。（2）解：设，直线，联立椭圆方程得：12，，，由题意，若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，所以若直线经过定点，则该定点一定是直线与的交点

5、，该点必在轴上。设该定点坐标，，代入，化简得，所以过定点。重庆巴蜀中学高2018级届月考卷九理科20（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别是，，上顶点，右顶点为，的外接圆半径为。（1）求椭圆的标准方程；(2)设直线与椭圆交于，两点，若以为直径的圆经过点，求面积的最大值。解：（Ⅰ）右顶点为，，，椭圆的标准方程为．……………………………………………（4分）（Ⅱ）设直线的方程为，与椭圆联立得．……………………………………………（6分）以为直径的圆经过点，①……………………………………………（7分）12，代入①式得或（舍去）

6、，故直线过定点．……………………………………………………（9分），…………（10分）令，则在上单调递减，时，．…………………………………………………（12分）(一般化结论)：直线与椭圆交于两点，为上顶点。(1)若，则直线过定点；（2）若，则直线过定点；证明：设直线方程为，，，，，，（1）等式两边同时除以，化简得：，所以直线过定点。12所以直线过定点。（2017年全国卷1理科12分）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上。（1）求椭圆方程；（2）设直线不经过点且与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之和为，证明：过定点。解析

7、：（1）略；（2）（一）当直线斜率不存在时，设，，，，得，此时直线过椭圆右顶点，无两个交点，故不满足。（二）当直线斜率存在时，设，，，联立，，，，又，此时，存在使得，所以直线的方程为：，过定点。（一般化直角弦过定点）12过上一点作两条互相垂直的弦、，试研究弦是否过定点？解：设，由得到①设直线的方程为（斜率不存在时容易证明）又∵在椭圆上　　∴②同理可得：③将②③两式代入到①得∵点不在直线上，∴∴整理得：∴直线过定点注：引理：若、是方程的两个实数根，则。证法思路二：设在椭圆上，即，设，12，，，，所以过定点。已知椭圆过点，离

8、心率为，、是椭圆上两个动点，且直线、的斜率之积为。（1）求椭圆标准方程；（2）求面积的最大值。（一般结论）设为椭圆C:上一点，为曲线C的动弦,且弦,斜率存在，记为,,则直线通过定点的充要条件是。（一般结论）过椭圆(a＞0,b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于，两点，则直线BC有定向且（常数）.证明：设A