椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题

椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题

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时间:2018-09-22

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1、椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题(1)过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦,。若弦,的中点分别为,,那么直线恒过定点。(2)过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦,。若弦,的中点分别为,,那么直线恒过定点。设的直线为,则的直线方程为,,,,,,由中点公式得,将用代换,得到的坐标的直线方程为,令,得所以直线恒过定点。(3)过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦,。若弦,的中点分别为,,那么直线恒过定点。12(4)过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦,。若弦,的中点分别为,,那么直线恒过定点。设的直线为,则的直线方程为,,,,由中点公式得直线的方程为:,即,所以直线恒过定点。12重庆高2

2、018级理科二诊20(本题满分12分)已知,是椭圆的左右焦点。(2)过作两条互相垂直的直线与(均不与轴重合)分别与椭圆交于四点。线段,的中点分别是,,求证:直线过定点,并求出该定点坐标。设直线,联立椭圆方程得:,,,,由题意,若直线关于轴对称后得到直线,则得到的直线与关于轴对称,所以若直线经过定点,则该定点一定是直线与的交点,该点必在轴上。设该定点坐标,,代入坐标化简得,所以过定点。12结论(一)以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点。推论1:以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点,且定点在轴上。证明:设右顶点,设,,,,将换成得:由题意,若直线关于轴对称后得到

3、直线,则得到的直线与关于轴对称,所以若直线经过定点,则该定点一定是直线与的交点,该点必在轴上。设该定点坐标,,,所以过定点。推论2:以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点,且定点在轴上。证明:设右顶点,设,,,,将换成得:由题意,若直线关于轴对称后得到直线,则得到的直线与关于轴对称,所以若直线经过定点,则该定点一定是直线与的交点,该点必在轴上。12设该定点坐标,,,所以过定点。下面探求面积的最大值:代入椭圆得:,,当且仅当时等号成立取最大值。面积在单调递减。结论2:以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点,结论3:以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点

4、重庆高2018级文科二诊20(本题满分12分)已知,是椭圆的左右焦点,为椭圆的上顶点。(2)过点作两条互相垂直的直线与椭圆交于,两点(异于点),证明:直线过定点,并求该定点的坐标。(2)解:设,直线,联立椭圆方程得:12,,,由题意,若直线关于轴对称后得到直线,则得到的直线与关于轴对称,所以若直线经过定点,则该定点一定是直线与的交点,该点必在轴上。设该定点坐标,,代入,化简得,所以过定点。重庆巴蜀中学高2018级届月考卷九理科20(本小题满分12分)已知椭圆的左右焦点分别是,,上顶点,右顶点为,的外接圆半径为。(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线与椭圆交于,两点,若以为直径的圆经过点

5、,求面积的最大值。解:(Ⅰ)右顶点为,,,椭圆的标准方程为.……………………………………………(4分)(Ⅱ)设直线的方程为,与椭圆联立得.……………………………………………(6分)以为直径的圆经过点,①……………………………………………(7分)12,代入①式得或(舍去),故直线过定点.……………………………………………………(9分),…………(10分)令,则在上单调递减,时,.…………………………………………………(12分)(一般化结论):直线与椭圆交于两点,为上顶点。(1)若,则直线过定点;(2)若,则直线过定点;证明:设直线方程为,,,,,,(1)等式两边同时除以,化简得:,所以

6、直线过定点。12所以直线过定点。(2017年全国卷1理科12分)已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆上。(1)求椭圆方程;(2)设直线不经过点且与椭圆相交于两点,若直线与直线的斜率之和为,证明:过定点。解析:(1)略;(2)(一)当直线斜率不存在时,设,,,,得,此时直线过椭圆右顶点,无两个交点,故不满足。(二)当直线斜率存在时,设,,,联立,,,,又,此时,存在使得,所以直线的方程为:,过定点。(一般化直角弦过定点)12过上一点作两条互相垂直的弦、,试研究弦是否过定点?解:设,由得到①设直线的方程为(斜率不存在时容易证明)又∵在椭圆上  ∴②同理可得:③将②③两式代入到①得∵点不在

7、直线上,∴∴整理得:∴直线过定点注:引理:若、是方程的两个实数根,则。证法思路二:设在椭圆上,即,设,12,,,,所以过定点。已知椭圆过点,离心率为,、是椭圆上两个动点,且直线、的斜率之积为。(1)求椭圆标准方程;(2)求面积的最大值。(一般结论)设为椭圆C:上一点,为曲线C的动弦,且弦,斜率存在,记为,,则直线通过定点的充要条件是。(一般结论)过椭圆(a>0,b>0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于,两点,则直线BC有定向且(常数).证明:设A

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