一道和积方程问题的深入探究

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1、数学素积方程问题的深入探宄口朱德甫同学们有没有注意到：有些数学题目条件十分N)，E千以一k=4，最口(a+k)(口一k)=4=1x4=2x2，以司少，但解法却十分丰富；而另一些数学题目条件十分多但解法却十分单一．有些数学题目条件十分简单但求得2，=o(oq，．i}=寻不合题意)．想解却不知从何人手；另一些数学题目条件十分复所以m2—4m=0，故m=4(m=0不合题意)．杂但解法却一望可知．请看下面一题：所以可以求得Iy=2．咽遇到和积，我们理所当然应当想到一I求方程y：的正整数解．元二次方程根与系

2、数的关系，这是一种常规思路．这是一道结构和内容都较简洁的问题，xy=x+yqI变数，'，是互相对称、可交换的，具有内在的霸(估算法)据和x,y为正整数，不和谐统一性，但如不考虑适当方法，则求解势必受阻．妨设O

3、．y=2．的值．隅这种解题思路很好．因为整数的因数分霹(因式分解)原式变形得()-5)=-1，解方式是有限的．这样只有两种情形{-y’或f_y=一’从而f_4’，镧(“多元”化“单元”)这是一个二元方Ix一5=一1tx一5=1．ty=7程，但如果把Y看作未知数，看作已知数，则可求出或』=6’[y=13y=，再适当变形，得y=，l~Py=1+士．又，y．一l—l一l1~l(2x-y)(一5)一1变化，-~．2x-y：，都是正整数，故只有一1=1，从而x=2，y=2．x-3隅这种方法要求我们对于等~x

4、y=x+y，切~lJy=2x+．又，y均为整数，故只有一5=1或一1，则忌狭义理解为二元二次方程．得解．翎(利用根与系数的关系)不妨设+y=m，则，y是关于z的一元二次方程z2-mz+m=O的两I变式2求方程=y叫的整数解．个解．熊原式变形为(-y)+()，问题即转化由于该方程有且只有正整数解，所以△=(一m)一4m=m2-4m为平方数，于是可设m2-4m=k(∈N)，所为求+y的整数解，从而可得{：’或{以m2-4m一

5、j}2_0．由于该关于m的一元二次方程有正整数解，故△变式3若，Y，0∈R，

6、求满足+y=0(0为常=16+4k=4(4)也为平方数，所以可设4+k=a2(a∈数)的，'，的值41数学·结论用一对、J“姊，r妹，，■’”函．度应用瓣

7、势其次，它们的性质如下表所烈．形如“厂()=±0(rz，b>0)”的两类函数被我们函数)：+f(x)：(一—b形象地称为“姊妹”函数．其在高中试题中出现的频—率是比较高的，所以我们很有必要对这两类函数的定义域(一∞，0)u(O，+。。)(一m。0)u(0，+oo)图像及性质作深入的研究．值域(一，—2]u[2x／-o~，+)R首先，利用几何画板

8、可以很方便地作出两类函奇偶性奇函数奇函数数的图像，分别如图1、2所示．性厶熬J付．p一辉(一，b[)(单调性一∞，0)，(0，+∞)e，递增，[-’o)'(。，]递增递减一／一一

9、／似一导。／√Ⅱ零点无，o)，)=一+睾∥ol图像x=O，y=aXx=O，y=ax渐近线图l图2最后，利用其图像和性质可以非常直观方便地，慝踌这里是一个二元二次方程组，我们显然再分别讨论，不难得到(z)的一组解为(1，2，3)．这是在原题的基础上加了变量．可以想到消元并利用一元二次方程根与系数的关系．消去y，得ax+a=

10、O，所以当n≥4或Ⅱ≤O时，=曩变式6求方程"协2机3帆4+55的正整数解．(0±、)；当O

11、矗变式4求满足：_2+y：7的x,y的值．到n呢．结合以上案例的分析，可知在数学学习中，我们变式4留给同学们自己解决．要注重一题多解，一题多变，学会让题生题．如何面对量变式5求方程yz=的正整数解．题型多变的题海，这要求同学们学会自主观察、尝麟用估算法较快．类似前面，不妨设。≤试、操作，同时与大家一起分享数学发现的快乐，探y≤z，则~txyz=x+y+z≤3z，可得xy<~3，故xy=1或2或3．究成功的乐趣．42