柯西不等式的证明、记忆、应用

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1、2．(2008年江西)过抛物线=2pr(r>芒值．0)的焦点作倾斜角为30。的直线，与抛物线分答案与提示：1．3+2．．z、两点(点A在y轴左侧)，则2．了1，用极坐标方程p=，I朋l=——_．3．(2007年重庆)过双曲线一)，2：4的=，ll『二丽·右焦点F作倾斜角为105。的直线，交双曲线于P、Q两点，则lFP卜IFQI的值为一‘3‘4．(2007年重庆)如图8，中心在原点04．(1)2+2=l；(2了2，用p=的椭圆右焦点为F(3，O)，右准线l的方程为，所求为】2．图8=11+一+一：12+∞cos0+2+cos(0+(1)求椭圆的方程；P2P3．(2

2、)在椭圆上任取三个不同点．P，、、P，，120。)+2+eos(0+240。)]，使P1FP2=P2FP3=P3FP1，证明展开=角式即可．n『『+n毒+毒为力定值但，并开求此●李新卫饧式的证明、记亿、应用一、柯西不等式的推论且仅当=62=⋯=嚣时等号成立·柯西(Cauchy)不等式(a1b1+a2b2+⋯+a．b)推论3设a，b>0(i=1，2，3，·“，n)，≤(a+a+⋯+口2)(b+b+⋯+6)，则(++．．·+)≤a+n当且仅当6=6=⋯=6=o或=a2+⋯+。)(6+6+⋯+6)，当且仅当=：⋯：an时等号成立．=⋯=时等号成立．0n推论1albl+

3、a2b2+⋯+a．b二、柯西不等式的记忆方法≤IaIbI+a2b2+⋯+a．bI柯西不等式可按向量式理解记忆，对于二≤，维向量a=(a，a2)，b=(b1，b2)，由a·b=取等号条件同上．IaIIbICOS0(i=1，2，3，⋯，)，lbl，从而Ia·bI≤l口II6I。，当且仅当(a，则++⋯+≤6>=0时等号成立；即alb1+a2b2≤Ia1b1+、·、，当a2b：I≤+0；·+b；，(a1b+口6：)·21·≤(+口；)(b；+b；)，当且仅当b=b=0或=时等号成立．对于三维向量口=(0，01U2a

4、(b+c)+b(c+a)+c(a+b)a2，a3)，b=(bl，b2，b3)，同样有(a1b1+a2b2+a3b)≤(a+a+o；)(b；+b+6；)，当且仅当6=6：=6，=o或：a2：簧时等号成立．这是柯西不等式在=2或n=3时的特≥√／，。+c、)‘bc+例．三、柯西不等式的应用柯西不等式可将几个数的和置于不等式的=bc+ca+ab．“小头”，来解决某些难以用均值不等式解决的问题．’＼即++志≥1．证明不等式bc+ca+ab例1若a、、T都是锐角，COS+COSJB+2COS=2，求证：tan仪+tan+tany≥÷．又因为bc+c口+。b≥3=3，证明：

5、由柯西不等式，得所以++丢≥吾．l1l—CO下S+—CO—S‘十—CO—S‘例3已知a，b，C，d∈R，且a+b+c+d：=l，求证：(0+上)。+(6+_1)：+(c+)z：(。。：+。。卢+。。)(—+，求证：(。+寺口)。+(6+_O)+(c+寺C)南+≥⋯号·+吉)≥(证明：(口+)+(6+_1再由—_sinx+cosx=tan+1，可ⅡO)+(c+÷C)+COS‘COS得(d+寺)tan+tan2~+tan(+上一+)一3=丢+12)[(口+丢)+(6+：2~+2一COS1)+(c+÷)+(d+1)]≥导一3=吾．≥例2(1995年第36届IMO试题)

6、已知a，÷[1·(口+)+l·(6+÷)+l·(cb，C∈R，且abc=1，求证：++÷)+1．(d+丢b(C+口+杀酉≥寻_．a。(b+C)=丢[(口+6+c+d)+(++÷+证明：原不等式等价于1)]0(b+C)+‘6(C+a)+。志c(a+b)≥一三2=÷[1+(口+6+c+d)(1口+1+1+由a，b，c∈R，应用推论2，得·22·、一d1J：≥●—．L一4l当且仅当午2=b2=寺2，+6+c=16,11p+。：2,b：4，c：10时等号成立，故，1+_4+aD25的最小值为4+)2]．+4。)。=(例6设、均为锐角，求例4已知。，b∈R+，凡∈N·，—

7、11—+一：的副、值．也D1，求证：(a+b)+2≥0+b+4．1证明：士+sin‘t~c0s‘cos‘8sin‘8证明：变换题设+1=1，得4Sln+——in22fl、1+—丁，cos2_下a+b：ab，(a一1)(b一1)=1．asSlnC0S当且仅当sin：1时等号成立．又l=+a古D≥2a6，得06≥4又由柯西不等式，得由此，结合应用柯西不等式，有l4+(a+6)一a一b+l=fab)“一口一b+1(—一+d(Sin2+c。s2)：+sin—2o~cTo2(m‘+。。‘’=(a“一1)(b一1)=≥(1’+2)：9，(a一1)(a一+a一+⋯+0+1)(

8、b一1)(b一+b“一+