2009年高中物理竞赛指导 用坐标法巧解摩擦角问题.doc

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1、2009年高中物理竞赛指导用坐标法巧解摩擦角问题在近年的全国物理奥赛中，经常考查一些与摩擦角相关的问题。由于摩擦力的特殊性，使得对这一类竞赛题的分析和解答过程变得非常的复杂，例如第二十届全国复赛试题中（例一题），在其标准解答中，不仅利用了物体不发生滑动的条件，共点力的平衡条件，而且还利用了非共点力的平衡条件，共建立了十五个方程，二十三个等式。为了使解决此类摩擦角问题的方法更加简单和程序化，作者根据摩擦角与全反力所在直线的斜率存在着特殊的关系，向大家介绍一种新的解法——“坐标法”，例一、（第二十届全国复赛试题）有一半径为R的圆柱体A，静止在水平地

2、面上，并与竖直墙面接触。现另一质量与A相同，半径为r的较细圆柱体B，用手扶着圆柱体A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图示，然后放手。已知圆柱体A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱体之间的静摩擦系数为0.30。若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱体B与墙面间的静摩擦系数和圆柱体B的半径r的值各应满足什么条件？解：设A、B与墙面间的静摩擦系数分别为和，接触点分别为C、D；A、B之间的静摩擦系数为，接触点为E。对圆柱体A，由于重力G与地面对圆柱体A的全反力F用心爱心专心相交于C，根据三力会交原理，所以B对A的全反力F必过C点，根据牛

3、顿第三定律，A对B的全反力F一定过圆柱体B的顶点H。如图甲所示：（1）、以圆柱体B为研究对象，由于重力G与F相交于圆柱体B的顶点H，所以墙面对B的全反力F一定过H点。如图乙所示：由图乙可知，全反角=45又tan（2）、如图乙所示，以O为坐标原点，建立直角坐标系，则各点坐标为：H、（0，r）;C、｛－(R－r)，－－R｝直线CH的斜率为：K=又tan=解得：r0.29R(1)(3)、以A、B两个圆柱体组成的系统为研究对象，由于墙面对B的全反力F与系统的重力GAB相交于P点，所以地面对圆柱体A的全反力F1一定过P点。如图丙所示：则：F3的直线方程：

4、y=－x+rGAB的直线方程：x=－(R－r)由以上两式得交点P的坐标为：xp=－(R－r)yp=(R+r)用心爱心专心则F1的直线斜率：KCP=又tan=解得：r(2)比较（1）、（2）两式可得：Rr0.29R例二、一梯子长为L，斜靠在竖直的墙壁上，梯子的倾角为，与水平地面间的静摩擦系数为，与竖直墙面间的静摩擦系数为为，不计梯子的重力，求：重为G的人沿梯子能上升的最大高度。解：以梯子和人组成的系统为研究对象，如图所示，建立直角坐标系：地面对梯子的全反力F1的直线方程：y=－(x－Lcos)（1）用心爱心专心竖直墙面对梯子的全反力F2的直线方程

5、：y=tanx+Lsin（2）梯子AB的直线方程：y=－tan（x－Lcos）（3）当人达最高时，梯子将要滑动，此时有：tan=tan=代入上式由（1）、（2）两式可得F1与F2的交点P坐标为：x=代入（3）式得人达到的最大高度为：y==令h=Lsin则：y==讨论：（1）当tan时，y,说明人可到达梯子的顶端，即：ymax=Lsin。也就是说，梯子的倾角大于某一临界角时（tan=），梯子会处于自锁状态。这种情况在实际中正是人们所希望的，因此人们通常把梯子放得陡一些，使得人无论爬到梯子的任何位置，梯子都将因自锁而不至滑倒，而且梯子与水平地面间的

6、静摩擦系数越大，临界角就会越小，梯子会更容易实现自锁状态。用心爱心专心（2）、当tan时，y