年高中物理竞赛指导用坐标法巧解摩擦角问题（页）

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1、2009年高中物理竞赛指导用坐标法巧解摩擦角问题在近年的全国物理奥赛中，经常考查一些与摩擦角相关的问题。由于摩擦力的特殊性，使得对这一类竞赛题的分析和解答过程变得非常的复杂，例如第二十届全国复赛试题中（例一题），在其标准解答中，不仅利用了物体不发生滑动的条件，共点力的平衡条件，而且还利用了非共点力的平衡条件，共建立了十五个方程，二十三个等式。为了使解决此类摩擦角问题的方法更加简单和程序化，作者根据摩擦角与全反力所在直线的斜率存在着特殊的关系，向大家介绍一种新的解法——“坐标法”,例一、（第二十届全国复赛试题）冇一半径为R的圆柱体A,静止在水平地而上，并与竖直墙面接触。现另一质量与A相同

2、，半径为r的较细圆柱体B,用手扶着圆柱体A,将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图示，然后放手。已知圆柱体A与地面的静摩擦系数为0.20,两圆柱体之间的静摩擦系数为0.30o若放手后，网圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱体B与墙面间的静摩擦系数和圆柱体B的半径r的值各应满足什么条件？F；Gab乙丙解：设A、B与墙面间的静摩擦系数分别为“和心，接触点分别为C、D；A、BZ间的静摩擦系数为d，接触点为E。对圆柱体A,由于重力5与地而对圆柱体A的全反力片相交于C,根据三力会交原理，所以B对A的全反力F?必过C点，根据牛顿第三定律，A对B的全反力卩2—定过圆柱体B的顶点H。如图甲所示：(1)、

3、以圆柱体B为研究对象，由于重力与F?相交于圆柱体B的顶点II,所以墙面对B的全反力F3—定过H点。如图乙所示：由图乙可知,全反角①3二45°乂vtanO30.29R(1)(1)、以A、B两个岡柱体组成的系统为研究对象，由于墙面对B的全反力F3与系统的重力G、b相交于P点，所以地

4、面对圆柱体A的全反力R—定过P点。如图丙所示：贝h鸟的直线方程：y=—x+rGab的直线方程：x=——(R—r)rtl以上两式得交点P的坐标为:则F】的直线斜率:2心)2心)解得：r>-R(2)9比较(1)、(2)两式可得：R>r>0.29R例二、一梯了长为L,斜靠在竖直的墙壁上，梯了的倾角为0,与水平地面间的静摩擦系数为"，与竖直墙面间的静摩擦系数为为“2,不计梯子的重力，求：重为G的人沿梯子能上升的最大高度。解：以梯了和人组成的系统为研究对象，如图所示，建立直角坐标系：地面对梯了的全反力R的直线方程：y二一——!——(x—Lcos&)(1)tan①

5、竖直墙面对梯子的全反力几的直线方

6、程:y=tan2x+Lsin&(2)梯子AB的直线方程：y=—tan^(x—Lcos0)(3)当人达最高时，梯子将要滑动，此时冇:tan①

7、二“

8、tan①2二代入上式由(1)、(2)两式可得片与F2的交点P坐标为:_厶(cos&sin&)xp1+“

9、“2代入(3)式得人达到的最大高度为:y="Sn"(sin3+应cos0)1+“

10、“2“1厶sin。(sin0+皿cos0)1+“化cos0y=——(tan0+“2)1+“

11、“2_伽0+“2h一+“2讨论：(1)当tan0>丄时,y>h,说明人可到达梯子的顶端,即：y^x=Lsin。。也就是说，梯子的倾角人于某一临界角0。吋(lan%

12、二丄)，梯子会处于自锁状态。这种情况在实际屮正是人们所希望的，因此人们通常把梯子放得陡一些，使得人无论爬到梯子的任何位置，梯子都将因自锁而不至滑倒，而且梯子与水平地面间的静摩擦系数"越大，临界角&。就会越小，梯了会更容易实现口锁状态。(2)、当tan0v丄时，y

13、，使解题的目的性更加明确，从而达到事半功倍的效果。