从工程看数学-中文讲稿-2009年-北京工业大学.pdf

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1、希尔伯特空间浅述希尔伯特空间浅述––兼谈从工程的角度看数学兼谈从工程的角度看数学AnIntroductiontoLAnIntroductiontoL2SpaceSpace--AnEngineeringAnEngineering’’sViewofsViewofMathematicsMathematics唐远炎唐远炎唐远炎YuanYanTangYuanYanTangYuanYanTangIEEEFellowIEEEFellowIAPRFellowIAPRFellow数学是自然现象和社会现象包括工程技术的高

2、度概括和抽象描述。本学术报告以泛函分析中的一个比较难理解的数学概念，希尔伯特空间为例,从工程的角度给出了形象的，比较好理解的描述。将抽象的数学还原为实际的工程问题。此报告还介绍了有关希尔伯特空间理论在模式识别中的应用实例。此报告通俗易懂，通过形象的比喻加深听众对数学理论的理解，为工程技术人员更好地应用数学理论以及数学家如何将数学理论和实际应用相结合提供帮助。此为作者在国家基金委信息科学部所作报告的讲稿整理修改而成，和大家分享。“Accesstowavelettheoryhasbeenlimitedbe

3、causemuchofthewaveletliteraturerequiresthatthereaderunderstandthemathematicsoffunctionalanalysis泛函分析,Hilbertspacetheory希尔伯特空间,etc.”L2(0,2π)崔景泰CharlesK.Chui,AnIntroductiontoWaves,AcademicPress,1992AbstractSpaceLinearSpace抽象空间线性空间FunctionalBannachAnalysis

4、Norm范数Space泛函分析NormedSpaceHilbertSpace赋范空间AabstractspaceisasetwithlimitLimitSet集合AlgebraicoperationAbstractSpace(addition,number抽象空间multiplication)isAsetisaappliedcollectionofVectorisanelementselementintheLinearSpacespace线性空间HilbertSpaceInnerProduct希尔伯特

5、空间Space内积空间LimitisNormNormCompleteinnerproductdescribedby范数范数space完备的内积空间thedistanceBannachSpaceNormedSpace巴拿赫空间赋范线性空间Completenormedspacef,f≥0f,g=g,fL2(RL2(R22))空间的函数空间的函数的重要性质的重要性质如果f(x,y)是L2(RL2(R2))空间的函数，即空间的函数，即f(x,y)∈L2(R2)，则f(x,y)是平方可积函数,即函数的能量有限2

6、∫∫

7、f(x,y)

8、dxdy<∞2R函数的能量∞f(x)∈L2(R)∫

9、f(x)

10、2dt<∞f(x)是平方−∞可积函数f(x)f(x)f(x)f(x)xxxx小波函数

11、f(x)

12、

13、f(x)

14、

15、f(x)

16、

17、f(x)

18、xxxx××××√√√√2f(x,y)∈L2(R2)∫∫

19、f(x,y)

20、dxdy<∞f是平方可积函数R2图像是图像是L2(RL2(R22))空间空间yf(x,y)的函数的函数•图像的面积是有限的:ΩΩΩΩ•图像的像素灰度级是有限的:0≤f(x,y)≤255x•所以2220=∫∫0dxdy≤∫

21、∫

22、f(x,y)

23、dxdy≤∫∫255dxdy=255Ω<∞ΩΩΩ图像是图像是L2(RL2(R22))空间的函数空间的函数2220=∫∫0dxdy≤∫∫

24、f(x,y)

25、dxdy≤∫∫255dxdy=255Ω<∞ΩΩΩ•这个公式仅仅考虑在图像面积Ω内的积分.•从数学的角度应该考虑在整个空间R2内的积分•我们在整个空间R2内制造一个新的图像⎧f(x,y)(x,y)∈Ωf(x,y)=⎨⎩0(x,y)∉Ω•因此220≤∫∫

26、f(x,y)

27、dxdy≤255Ω<∞2RL2(RL2(Rnn))空间的一类重要空间的一

28、类重要函数函数——小波函数小波函数（（WaveletsWavelets））Waves,Wavelets,andWaves,Wavelets,andTransformsTransforms波、小波和变换波、小波和变换Waves&Wavelets波和小波波和小波AnewwordinEnglish-WaveletsBookandbooklet书和小册子Waves&Wavelets波和小波波和小波WavesWaves波波WaveletsWavelets小波小波T