高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2用向量方法求空间中的角课件新人教A版.pptx

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1、3.2　立体几何中的向量方法3.2.2　用向量方法求空间中的角自主学习新知突破1．理解直线与平面所成角的概念．2．掌握利用向量方法解决线线角、线面角、二面角的求法．3．正确运用向量法求异面直线的夹角．山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30m和40m，CD的长为60m，AB的长为80m.[问题1]如何用向量方法求异面直线AC和BD所成的角？空间角的向量求法

2、cos〈a·b〉

3、〈a，n〉

4、cos〈n1

5、，n2〉

6、4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1－A1C－C1的大小．合作探究课堂互动求异面直线所成的角求异面直线所成的角的两种方法(1)几何法①方法：解决此类问题，关键是通过平移法求解．过某一点作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解．主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围．②关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如等腰(边)三角形的性质、中位线的性质及勾股定理、余弦定理及有关推论．(2)向量法①方法：利用数量积或坐标方法将

7、异面直线所成的角θ转化为两直线的方向向量所成的角φ，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角，即cosθ＝

8、cosφ

9、.②关注点：求角时，常与一些向量的计算联系在一起，如向量的坐标运算、数量积运算及模的运算．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD的夹角．思路点拨：　方法一：几何法，作出A1B在平面A1B1CD内的射影，直接求解．求直线与平面的夹角解析：方法一：连接BC1，与B1C交于点O，连接A1O，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵B1C⊥BC1，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1

10、＝B1，∴BC1⊥平面A1B1CD.故A1O为A1B在平面A1B1CD内的投影，即∠BA1O为A1B与平面A1B1C的夹角，求直线与平面的夹角的方法与步骤思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．2．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3，PC＝CD＝2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．求直线PC与平面PDE所成角的正弦值．解析：如图所示，以点C为坐标原点，直线CD，CB，CP分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系C－xyz

11、，则相关点的坐标为C(0，0,0)，P(0，0,2)，D(2,0,0)，E(1,2,0)．求二面角(1)求二面角的方法3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中平面AB1D1与平面A1BD所成的夹角为θ，求cosθ的值．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，CD的中点，求点B到平面AEC1F的距离．求空间距离思路点拨：AB是平面AEC1F的斜线段，AB在平面AEC1F的法向量方向上的投影长即为点B到平面AEC1F的距离，所以应先求出平面AEC1F的一个法向量，再利用向量的数量积求解．求点到平面的距离的步骤可简化为：(

12、1)求平面的法向量；(2)求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．【错因】由平面的法向量求二面角大小时，必须分清二面角的大小与向量夹角的大小之间的关系，本错解未注意到二面角实际是一个锐二面角．