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《2019-2020年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2用向量方法求空间中的角高效测评新人教A版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2用向量方法求空间中的角高效测评新人教A版选修一、选择题(每小题5分，共20分)1．设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于( )A．45° B．30°C．90°D．60°解析： 以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BE为z轴建立空间直角坐标系．则A(1,0,0)，C(0,1,0)，F(1,0,1)，∴＝(－1,1,0)，＝(1,0,1)．∴cos〈，〉＝.∴〈，〉＝120°.∴AC与BF所成的角为60°.答案： D2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，
2、BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )A.B.C.D.解析： 建系如图，设正方体棱长为1，则＝(0,0,1)．∵B1D⊥面ACD1，∴取＝(1,1,1)为面ACD1的法向量．设BB1与面ACD1所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，∴cosθ＝.答案： D3．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C－BF－D的正切值为( )A.B.C.D.解析： 设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，∴B，F，C，D.∴＝，且
3、为平面BDF的一个法向量．由＝，＝可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.∴tan〈n，〉＝.答案： D4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为( )A.B.C.D.解析： 如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，B1(2，2,4)，D1(0,0,4)，∴＝(2,2,0)，＝(2,0，－4)，＝(0,0,4)，设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，则n⊥，n⊥，∴，即，令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．A1
4、到平面AB1D1的距离为d＝＝.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，v＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．解析： cos〈n，v〉＝＝－.∴〈n，v〉＝120°.答案： 60°6．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为________．解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1.因为A1D⊥平面ABC，AD⊥BC，由AD＝，AA1＝1知A1D＝.故A1.又A，B，∴＝，＝，∴cos〈·〉＝
5、.又∵CC1∥AA1，∴cos〈，〉＝cos〈，〉．故异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为.答案： 三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，A1B1C1－ABC是直三棱柱，∠ACB＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值．解析： 方法一：取BC中点E，连接EF1，D1F1，∵D1F1綊B1C1，BE綊B1C1，∴D1F1綊BE，∴四边形BEF1D1是平行四边形，∴EF1∥BD1，∠AF1E是BD1与AF1所成的角，连接AE，设BC＝CA＝CC1＝1，则AE＝＝，AF1＝＝，EF1＝BD1＝＝，在△AEF1中，
6、由余弦定理得：cos∠AF1E＝＝＝.∴BD1与AF1所成角的余弦值为.方法二：如图所示，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设CB＝CA＝CC1＝1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，D1，F1，则＝，＝，∴
7、
8、＝，
9、
10、＝，则cos〈，〉＝＝，∴BD1与AF1所成角的余弦值为.8．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．求EB与平面ABCD夹角的余弦值．解析： 取CD的中点M，则EM∥PD，又∵PD⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，∴BE在平面ABCD上的射影为BM，
11、∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角，如图建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝1，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，∴M，E，∴＝，＝，cos〈，〉＝＝＝，∴BE与平面ABCD夹角的余弦值为.9．(10分)如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E，F分别是线段AB，BC上的点，且EB＝FB＝1.(1)求二面角C－DE－C1的正切值；(2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值．解析： (1)如图，
