2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3用向量方法求空间中的角练习新人教A版

《2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3用向量方法求空间中的角练习新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3课时　用向量方法求空间中的角课时过关·能力提升基础巩固1若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于(　　)A.120°B.60°C.30°D.以上均错解析:∵l的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°.则直线l与平面α所成的角为90°-60°=30°.答案:C2在二面角α-l-β中,若平面α的一个法向量为n1=　　32,-12,-2　　,平面β的一个法向量为n2=0,12,2,则二面角α-l-β的大小等于(　　)A.120°B.150°C.30°或150°D.60°或120°解析:

2、设所求二面角的大小为θ,则

3、cosθ

4、=

5、n1·n2

6、

7、n1

8、

9、n2

10、=32,所以θ=30°或150°.答案:C3若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α所成角的余弦值为(　　)A.-1111B.1111C.-11011D.91333解析:cos=(-2,-3,3)·(4,1,1)4+9+9×16+1+1=-4311=-41133,故l与α所成角的余弦值为1--411332=91333.答案:D4设四边形ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD,则异面直线AC与BF所成的角

11、等于(　　)A.45°B.30°C.90°D.60°解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),F(0,0,1),B(0,1,0),C(1,1,0),∴AC=(1,1,0),BF=(0,-1,1).∴AC·BF=-1.设异面直线AC与BF所成的角为θ,∴cosθ=

12、cos

13、=12.又∵θ∈(0°,90°],∴θ=60°.答案:D5已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)A.23B.33C.23D.13解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=2AB=2,则B(1,

14、1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,2),故DB=(1,1,0),DC1=(0,1,2),DC=(0,1,0).设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),则n·DB=0,n·DC1=0,即x+y=0,y+2z=0.令z=1,则y=-2,x=2,所以平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1).设直线CD与平面BDC1所成的角为θ,则sinθ=

15、cos

16、=

17、n·DC

18、

19、n

20、·

21、DC

22、=23.答案:A6在正四棱锥P-ABCD中,高为1,底面边长为2,E为BC的中点,则异面直线PE与DB所成的角为　　　　. 解析:建立坐标

23、系如图,则B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0,1,0),P(0,0,1),∴DB=(2,2,0),PE=(0,1,-1).∴cos=DB·PE

24、DB

25、

26、PE

27、=28×2=12.∴=π3.∴PE与DB所成的角为π3.答案:π37在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BD1-B1的大小为　　　　　. 解析:如图,以点C为原点建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为a,则A(a,a,0),B(a,0,0),D1(0,a,a),B1(a,0,a),∴BA=(0,a,0),BD1=(-a,a,a),BB1=(0,0,a)

28、.设平面ABD1的法向量为n=(x,y,z),则n·BA=(x,y,z)·(0,a,0)=ay=0,n·BD1=(x,y,z)·(-a,a,a)=-ax+ay+az=0.∵a≠0,∴y=0,x=z.令x=z=1,则n=(1,0,1),同理,求得平面B1BD1的法向量m=(1,1,0),∴cos=n·m

29、n

30、

31、m

32、=12,∴=60°.而二面角A-BD1-B1为钝角,故为120°.答案:120°8如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB上的动点.若异面直线AD1与EC所成角为60°,试确定此时动点

33、E的位置.解:以DA所在直线为x轴,以DC所在直线为y轴,以DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.设E(1,t,0)(0≤t≤2),则A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0),D1A=(1,0,-1),CE=(1,t-2,0),根据数量积的定义及已知得:1+0×(t-2)+0=2×1+(t-2)2·cos60°,所以t=1.所以点E的位置是AB的中点.9如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=π2,PA=AD=2,AB=BC=1.求平面PAB与平面PCD所成二

34、面角的余弦值.解:以{AB,AD,AP}为正交基底建立如图所示的空