三点共线与三线共点的证明方法.doc

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1、三点共线与三线共点的证明方法公理1.若一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。公理2.过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面;推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面;推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。公理3.若两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。例1.如图,在四面体中作截图,、的延长线交于,、的延长线交于,、的延长线交于.求证、、三点共线.由题意可知,、、分别在直线、、上,根据公理1可知、、在平面上,同理,、、分别在直线、、上,可知、、在平面上

2、,根据公理3可知、、在平面与平面的公共直线上,所以、、三点共线.例2.已知长方体中,、分别为与的中点,求证:、、三线共点.由、分别为与的中点知且,又与平行且相等,所以且,根据推论3可知、、、四点共面,且与相交,若与的交点为,则点既在平面上又在平面上,所以点在平面与平面的交线上,故、、三线交于点,即三线共点.从上面例子可以看出,证明三线共点的步骤就是,先说明两线交于一点,再证明此交点在另一线上,把三线共点的证明转化为三点共线的证明,而证明三点共线只需要证明三点均在两个相交的平面上,也就是在两个平面的交线上。

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