向量证明三线共点与三点共线问题.doc

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1、用向量证明三线共点与三点共线问题山东徐鹏三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题,直接证明往往很困难,用向量法解决则简捷得多.证明A、B、C三点共线,只要证明与共线即可,即证明.证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上.例1.证明:若向量、、的终点A、B、C共线,则存在实数、,且,使得;反之,也成立.AOBC图1证明:如图1,若、、的终点A、B、C共线,则//,故存在实数m,使得,又,,故,.令则存在使得.若,其中则,.从而有-=(-),即.又因为有公共点B,所以A、B、C三点共线,即向量、、的终点A、B、C共线.例2.证明:三角形的三条中线交于一点.证明:如

2、图2,D、E、F分别是三边上的中点.ABCED F图2G设.则,又则,所以,所以G在中线CF上,所以三角形三条中线交于一点.

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