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时间：2020-04-07
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1、§2牛顿一莱布尼茨公式从上节例题和习题看到，通过求积分和的极限来计算定积分一般是很困难的．下面要介绍的牛顿一莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来．定理9．1若函数f在区间[a,b]上连续,且存在原函数F,即，则f在区间[a,b]上可积且这称为牛顿一莱布尼茨公式，它也常写成(1)证由定积分定义，任给，要证存在，当时，有事实上，对于的任一分割在每个小区间上对F(x)使用拉格朗日中值定理，则分别存在，使得(2)因为函数f在区间[a,b]上连续，从而一
2、致连续，所以对上述，存在，当时，有于是，当时，任取，便有这就证得所以f在区间[a,b]上可积,且有公式(1)成立注1在应用牛顿一莱布尼茨公式时，F(x)可由积分法求得注2定理条件尚可适当减弱例如：1)对F的要求可减弱为：在[a,b]区间上连续,在(a,b)区间内可导且有．这不影响定理的证明．2)对f的要求可减弱为：在[a,b]区间上可积(不一定连续)．这时(2)式仍成立，且由f在[a,b]区间上可积,(2)式右边当时的极限就是，而左边恒为一常数．例1利用牛顿一莱布尼茨公式计算下列定积分：1)2)3
3、)4)5)1)解:2)3）4）5)先用不定积分法求出的任一原函数，然后完成定积分计算：例2利用定积分求极限：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分．为此作如下变形:解:不难看出,其中的和式是函数在区间[0,1]上的一个积分和(这里所取的是等分分割，)所以当然,也可把J看作在[0,1]上的定积分,同样有
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