随机变量的数字特征与极限定理.ppt

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1、概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征与极限定理1第五章随机变量的数字特征与极限定理在前面关于随机变量及其分布的讨论中，我们较仔细地讨论了随机变量的概率分布，我们看到随机变量的概率分布(分布函数或分布列和概率密度)是随机变量的概率性质最完整的刻划，是能够完整地描述随机变量的统计规律的.但是在许多实际问题中，求概率分布不是一件容易的事；另一方面，有时不需要知道随机变量的概率分布，而只需要知道它的某一方面的性质.2例如，考察某种大批生产的元件的寿命，如果知道了它的概率分布，就可以知道寿命在任一指定的界限内的元件的百分率有多少，这

2、对该种元件的寿命状况提供了一幅完整的图景.下面我们将看到，根据这一分布我们可以算出元件的平均寿命值m，这个数m虽然不能对元件的寿命状况提供一个完整的刻划，但却在一个重要方面，且往往是人们最为关心的一个方面，刻划了元件寿命的状况，因而在应用上有极重要的意义.类似的情况很多，比如我们在了解某一个行业的经济状况时，我们首先关心的恐怕会是其平均收入，这给了我们一个总的印象；至于收入的分布状况，除非为了特殊的研究目的，倒反而不一定是最重要的了.3另一类重要的数字特征，是衡量一个随机变量(或其分布)取值的散布程度.例如，两个行业工人的平均

3、收入大体相近，但一个行业中工人收入的分配较平均，即大多数工人的收入都在平均值上下不远处，其“散布”小；另一个行业则相反，其收入远离平均值者很多，“散布”较大，这二者的实际意义当然很不同.又如生产同一种产品的两个工厂，各自的产品平均说来都能达到规格要求，但一个工厂的波动小，较为稳定，另一个工厂则波动大，有时质量超标准，有时则低于标准不少，这二者的实际后果当然也不同.4上面提到的平均值和散布程度，是刻划随机变量性质的两类最重要的数字特征.对于多维随机变量而言，则还有一类刻划各分量之间的关系的数字特征.在本章中，我们将要介绍的数字特

4、征有：数学期望、方差、协方差、相关系数和矩.5引例考试的平均成绩问题假设有n名同学参加了某种考试，考试后的成绩是：第一个同学得了a1分，第二个同学得了a2分，…，第n个同学得了an分，那么他们这种考试的平均成绩6引例考试的平均成绩问题假设有n名同学参加了某种考试，考试后的成绩是：第一个同学得了a1分，第二个同学得了a2分，…，第n个同学得了an分.将他们的成绩进行了汇总，发觉得x1分的人有n1个，得x2分的人有n2个，…，得xk分的人有nk个，其中n1+n2+…+nk=n，那么他们这种考试的平均成绩78第五章随机变量的数字特征

5、与极限定理5.1随机变量的数学期望5.1.1离散型随机变量的数学期望9定义5.1设离散型随机变量X的分布列为P(X=xk)=pk，k=1,2,…若级数绝对收敛，即则称该级数为离散型随机变量X的数学期望或均值，记为EX或E(X)，即10当发散时，则称X的数学期望不存在.定义中的绝对收敛条件是为了保证式不受求和的次序的改变而影响其和的值.11如果把x1,x2,…,xk,…看成是x轴上质点的坐标，而把p1,p2,…,pk,…看成是相应质点的质量，质量总和为则式表示质点系的重心坐标.12常用的离散型随机变量的数学期望例1(0—1分布)

6、设随机变量X的分布列为X01P1−pp求EX.解EX=0×(1−p)+1×p=p.13由前面可知，事件A的示性函数IA服从0—1分布：IA01P1−P(A)P(A)故EIA=P(A)，即任意事件的概率等于它的示性函数的数学期望.14例2(二项分布)设随机变量X的分布列为求EX.解151617例3(泊松分布)设随机变量X的分布列为求EX.解18由此看出，泊松分布的参数λ就是相应随机变量X的数学期望.19第五章随机变量的数字特征与极限定理5.1随机变量的数学期望5.1.2连续型随机变量的数学期望对以f(x)为概率密度的连续型随机变

7、量X而言，值x和f(x)dx分别相当于离散型随机变量情况下的“xk”和“pk”，故由离散型随机变量的数学期望的定义可知，连续型随机变量的数学期望可定义如下：20定义5.2设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分绝对收敛，即则称该广义积分为连续型随机变量X的数学期望或均值，记为EX或E(X)，即21EX的物理意义可理解为以f(x)为质量密度的一维连续质点系的重心坐标.22常用的连续型随机变量的数学期望例4(均匀分布)设连续型随机变量X的概率密度为求EX.23解这个结果是可以预料的，因为X在[a,b]上服从均匀分布，它取值的

8、平均值当然应该是[a,b]的中点.24例5(指数分布)设连续型随机变量X的概率密度为其中λ是正常数，求EX.25解26例6(正态分布)设连续型随机变量X~N(μ,σ2)，求EX.解EX=μ.正态分布中的参数μ，表示相应随机变量X的数学期望.272829例7(柯西分布)设连续型