浙江大学历年微积分(1)试卷解答(3)-积分(定积分应用).pdf

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1、浙江大学微积分（1）历年试题分类解答——积分浙江大学《微积分(1)》历年期末考试试题三.不定积分21x+1、求：dx.ò2xx++22(2xx+2)-+1221I=dx=-dxdxò2òò22x+2x+2x+2xx+2(++1)12=ln(x+2x+2)-arctan(xC++1).12、求：dx.ò2(xx++1)(1)1æö1x-11112I=ç÷-dx=lnx+1-ln(x+1)++arctan.xCò22èøxx++1124213、求：dx.ò2xx(+1)æö1x-11I=ç÷-dx=lnx+1-ln.xC-

2、+ò2èøx+1xx14、求：òdx.35xx+151514令：x=u，则：，x==udx15.udu14115ut2=uut15151æö432I=15du=151du=dt=ç÷t-t+t-t+-dtò532òòòu+uu+12tt++121èø15æöt5t4tt32=ç÷-+-+t-ln1tC++2èø54322824223155151515=x3-x15+x5-x15+x15-ln(xC15++1).2824222xx-+15、求：ln.xdxò2xx(-1)2xx-+1111lnxdx=(+)lnxdx=-

3、lnxdlnxlnxd()ò22òòòx(x-1)x(xx--1)1122lnxx11ln11=lnx-+òòdx=lnx-+-()dx2x-1x(x-1)2x--11xx12lnx=lnx-+lnx-1-+ln.xC21x-1浙江大学微积分（1）历年试题分类解答——积分xarcsine6、求：dx.òxexxcost【方法一】：令arcsine=t，则：e=sint，，x==lnsin.tdxdtsintxarcsinetcostt11dx=dt=-td()=-+dtòxò2òòesintsintsinttsint-

4、xx--xxx2=-+lncsct-cott+C=-earcsine+lne-e1.-+eCsintx1【方法二】：令e=t，则：，x=lntdx=>dtt.(0)txarcsinearcsint1arcsintdtdx=dt=-arcsintd=-+òxò2òò2ettttt1-arcsintdttarcsin11=-+=--ln1+-+Cò2t21tttt-12t-xxx2=earcsine+x-ln1-1.-+eCxarctane7、求：dx.ò2xex1【方法一】：令e=t，则：，x==ln.tdxdttxar

5、ctanearctantt111arctan1dx=dt=-arctantd=--[]dtò2xò3òò2222et2t2ttt(1)+1arctantt111arctan1=-[-dt+dt]=-[+++arctan]tC2òò2222tt12+tttx1arctane-xx=-[+e++arctaneC].2x2e2xsecu【方法二】：令arctane=u，则：，x==lntan.udxdutanu2uusec12I=×du=ucscu(cscucotu)du=-ucscud(cscu)=-udu(csc)ò2ò

6、òòtanuutan211222=-(ucscu-òcscudu)=-(ucscu++cotuC)221x--2xx=-[arctane(1+e)++eC].22浙江大学微积分（1）历年试题分类解答——积分xxcos8、求：dx..ò2sinxxcos1xxdx=xd()=-+cscxdxò2òòsinxsinxxsinx=-+lncscx-+cot.xCsinx2ln(1)+x9、求：dx.ò3x2ln(1+x)12112211dx=-ln(1+x)d=-ln(1+x)++dxln(1)ò3òò222x2x22xx1

7、22111x=-ln(1+x)+dx=-ln(1+x)+-()dx2òò2222xx(1++x)21xxx1122-ln(1+x)+lnx-ln(1++xC).222xsinx310、已知是fx()的一个原函数，求：òxf¢(xx)d.x333232sinxxsinòxf¢(x)dx=òxdf(x)=xf(x)-3òòxf(x)dx=-x()¢¢3x()dxxx3xcosx-sinxx22sin=x()-3xd()=xcosx-xsinx--3[xsinx2sin]xdx2òòxx2=xcosx-4xsinx-+6co

8、s.xC3浙江大学微积分（1）历年试题分类解答——积分四.定积分、广义积分及其应用31x221.求：ò(+-x)1xdx-121+x331xx1122222ò(+x)1-xdx=òò1-xdx+-x1dxx-122--1111++xx1xt=sinpp22222222=2òx1-xdx=2òòsintcostdx=-2sint(1