变换群置换群与循环群.ppt

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1、§2变换群、置换群与循环群例14.8:证明不等边长方形所有对称的集合,关于其合成构成群。B4={e,,,},[B4;]是4元素群,称为Klein四元群。一、变换群变换:非空集合S到S的一个映射,当映射是一一对应时,称为一一变换。SS表示S到S的所有映射全体组成的集合,SS={f

2、f:SS}，[SS;]是半群。是拟群。不是群T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。T(S)={f

3、fSS,且f为一一对应}[T(S);]是群定义14.5:设GT(S),当[G;]为群时,就称该群为变换群,其中为一一变换的合成(复合

4、)运算,并称为变换的乘法。定理14.9:[T(S);]是一个变换群。变换群不一定是交换群二、置换群定义14.6:设S,

5、S

6、<+,S上的一个一一变换称为置换。S上的某些置换关于乘法运算构成群时,就称为置换群。若

7、S

8、=n,设S={1,2,,n},其置换全体组成的集合表示为Sn;[Sn;]是一个置换群,n次对称群。S上的置换Sn,习惯上写成这里(i)即为i在函数下的象，这里1,2,,n次序无关，即n次对称群Sn是有限群,问

9、Sn

10、=?S上的一一变换个数有多少?S上的一一变换个数是n!,即

11、Sn

12、=n!。下面以三

13、次对称群S3为例，考察群运算。定义14.7:设

14、S

15、=n,Sn,形如:其中2≤d≤n。这种形式的置换叫做循环置换,称其循环长度为d。上述可写为=(i1,…,id)，其中在变换下的象是自身的元素就不再写出。特别,当d=2时称为对换。定理14.10:Sn中的任一个置换均可分解为不含公共元的若干个循环置换的乘积。证明:对n作归纳n=1,成立假设对n>1，

16、S

17、n-1,结论成立当

18、S

19、=n,任取Sn中的置换由元素1出发取上的循环置换推论14.1:任意一个置换可以分解为若干个对换的乘积。说明分解不唯一定理14.11：任意一个

20、置换可分解成对换的乘积,这种分解是不唯一的,但是这些对换的个数是奇数个还是偶数个却完全由置换本身确定。对一个置换，它可能有不同的对换乘积，但它们的对换个数的奇偶性则是一致的。定义14.8：一个置换的对换分解式中,对换因子的个数是偶数时称该置换为偶置换,否则,称它为奇置换。长度为k的循环置换(i1i2…ik)=(i1i2)(i2i3)…(ik-2ik-1)(ik-1ik)共k-1个对换所以当k是奇数时，该循环为偶置换当k是偶数时，该循环为奇置换推论14.2：一个长度为k的循环置换,当k为奇数时,它是一个偶置换;当k为偶数时,它是一个

21、奇置换。推论14.3：每个偶置换均可分解为若干个长度为3的循环置换的乘积,循环置换中可以含有公共元。证明:对任两个对换:(a,b)(c,d)(a,b)(b,c)推论14.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算下,其奇偶性由下表给出:偶置换奇置换偶置换偶置换奇置换奇置换奇置换偶置换恒等置换看作为偶置换Sn=On∪AnOn∩An=偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，是An上的运算[An;]是代数系统。1.封闭性2.结合律当然成立3.恒等置换eAn4.对于An,在Sn中有逆元-1,-1也是偶置换推论14.5：对称群Sn中

22、所有偶置换组成的集合,记为An,关于置换的乘法构成群。定义14.9：称上述[An;]为n次交待群。由于An中每个元素都是置换,因此根据置换群的定义可知[An;]也是置换群.

23、An

24、=?若n=1，Sn只有一个置换——恒等置换，它也是An的元素，

25、An

26、=1。若n>1,

27、An

28、=

29、On

30、=例：G={g1,g2,gn},[G;]是群,对任意gG,定义映射g:GG,使得对任意xG,有g(x)=gx。设={g

31、gG},则[;]是置换群。这里是关于映射的复合运算.证明:(0)是上的运算(1)是满足结合律的

32、.(2)存在单位元(3)对任意g,存在逆元(4)g是G上的置换三、循环群1.元素的阶定义14.10:设G为群,e是G的单位元，对于aG,如果存在最小正整数r，使得ar=e，则称r为元素a的阶;也可称a是r阶元。若不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a的阶无限。作业:P29312.(2)(3),13