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时间:2020-03-29
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1、3.3.2函数的极值与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0复习:函数单调性与导数的关系如果在某个区间内恒有,则为常数.设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,f(x)在这个区间单调递增f(x)在这个区间单调递减用“导数法”求单调区间的步骤?(1)求出函数的定义域;(若定义域为R,则可省去)(2)求出函数的导函数;(3)求解不等式f′(x)>0,求得其解集,与定义域取交集,写出单调递增区间;求解不等式f′(x)<0,求得其解集,与定义域取交集,写出单调递减区间。
2、注:单调区间不以“并集”出现。复习本题用到一个重要的转化:已知f(x)在区间D上单调,求f(x)中的参数的取值范围的方法为分离参数法;通常将(或)的参数分离,转化为最值问题,从而求出参数的取值范围,特别地,若f’(x)数形结合求出参数的取值范围.为二次函数,可以有(或)恒成立,复习观察图像:函数的极值定义使函数取得极值的点x0称为极值点函数的极值定义设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对X0附近的所有点,都有f(x)3、0附近的所有点,都有f(x)>f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0);◆函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即峰谷处的值)使函数取得极值的点x0称为极值点从函数图象上看,某点比附近点都高(低),为极大(小)值点.(3)极大值与极小值没有必然关系,极大值可能比极小值还小.oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))(1)极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;(2)函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可4、能有多个极大值和极小值;理解极值概念时需注意的几点(4)极值点是函数定义域内的点,而函数定义域的端点绝不是函数的极值点.(5)若f(x)在[a,b]内有极值,那么f(x)在[a,b]内绝不是单调函数,即在定义域区间上的单调函数没有极值.(6)若函数f(x)在[a,b]上有极值,它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示),相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.yxO探究1:极值点处导数值(即切线斜率)有何特点?结论:极值点处,如果有切线,切线水平的.即:f(x)5、=0aby=f(x)x1x2x3f(x1)=0f(x2)=0f(x3)=0思考:若f(x0)=0,则x0是否为极值点?xyO分析yx3f(x0)=0x0是可导函数f(x)的极值点结论:f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件观察与思考:极值与导数有何关系?对于可导函数,若x0是极值点,则f’(x0)=0;反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点.f(x)<0yxOx1aby=f(x)极大值点两侧极小值点两侧f(x)<0f(x)>0f(x)>0探究2:极值点两侧导数正负符号有6、何规律?x2xXx2f(x)f(x)xXx1f(x)f(x)增f(x)>0f(x)=0f(x)<0极大值减f(x)<0f(x)=0增减极小值f(x)>0口诀:左正右负极大值左负右正极小值两侧同号无极值题型1:图像与函数的极值1如何由导函数图象判断某点是否是极值点?(2)此点左侧在x轴上方,右侧在x轴下方,即左上右下,则此点是极大值点;若左下右上,则是极小值点.(1)此点为导函数图象与x轴的交点;必须同时满足以下两点:结论练习:下图是导函数的图象,试找出函数的极值7、点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6为极值点x2,x2x4x4为极大值点为极小值点3.导函数y=f’(x)的图像如图,在标记的点中哪一点处(1)导函数y=f’(x)有极大值?(2)导函数y=f’(x)有极小值?(3)函数y=f(x)有极大值?(4)函数y=f(x)有极小值?Y=f’(x)XYOx1,x4x2x3x5x1x2x3x4x5因为所以例1求函数的极值.解:令解得或当,即,或;当,即.当x变化时,f(x)的变化情况如下表:x(–∞,–2)–2(–2,2)2(28、,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–2时,f(x)有极大值28/3;当x=2时,f(x)有极小值–4/3.题型2:求函数的极值.(5)下结论:若导数f’(x)在此点附近左正右负,则在此点处取得极大值;若左负右正,则取得极小值.结论求解函数极值的一般步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求函数的导数f’(x);(3)令f’(x)=0,求出全部的根;(4)列表:用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域
3、0附近的所有点,都有f(x)>f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0);◆函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即峰谷处的值)使函数取得极值的点x0称为极值点从函数图象上看,某点比附近点都高(低),为极大(小)值点.(3)极大值与极小值没有必然关系,极大值可能比极小值还小.oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))(1)极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;(2)函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可
4、能有多个极大值和极小值;理解极值概念时需注意的几点(4)极值点是函数定义域内的点,而函数定义域的端点绝不是函数的极值点.(5)若f(x)在[a,b]内有极值,那么f(x)在[a,b]内绝不是单调函数,即在定义域区间上的单调函数没有极值.(6)若函数f(x)在[a,b]上有极值,它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示),相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.yxO探究1:极值点处导数值(即切线斜率)有何特点?结论:极值点处,如果有切线,切线水平的.即:f(x)
5、=0aby=f(x)x1x2x3f(x1)=0f(x2)=0f(x3)=0思考:若f(x0)=0,则x0是否为极值点?xyO分析yx3f(x0)=0x0是可导函数f(x)的极值点结论:f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件观察与思考:极值与导数有何关系?对于可导函数,若x0是极值点,则f’(x0)=0;反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点.f(x)<0yxOx1aby=f(x)极大值点两侧极小值点两侧f(x)<0f(x)>0f(x)>0探究2:极值点两侧导数正负符号有
6、何规律?x2xXx2f(x)f(x)xXx1f(x)f(x)增f(x)>0f(x)=0f(x)<0极大值减f(x)<0f(x)=0增减极小值f(x)>0口诀:左正右负极大值左负右正极小值两侧同号无极值题型1:图像与函数的极值1如何由导函数图象判断某点是否是极值点?(2)此点左侧在x轴上方,右侧在x轴下方,即左上右下,则此点是极大值点;若左下右上,则是极小值点.(1)此点为导函数图象与x轴的交点;必须同时满足以下两点:结论练习:下图是导函数的图象,试找出函数的极值
7、点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6为极值点x2,x2x4x4为极大值点为极小值点3.导函数y=f’(x)的图像如图,在标记的点中哪一点处(1)导函数y=f’(x)有极大值?(2)导函数y=f’(x)有极小值?(3)函数y=f(x)有极大值?(4)函数y=f(x)有极小值?Y=f’(x)XYOx1,x4x2x3x5x1x2x3x4x5因为所以例1求函数的极值.解:令解得或当,即,或;当,即.当x变化时,f(x)的变化情况如下表:x(–∞,–2)–2(–2,2)2(2
8、,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–2时,f(x)有极大值28/3;当x=2时,f(x)有极小值–4/3.题型2:求函数的极值.(5)下结论:若导数f’(x)在此点附近左正右负,则在此点处取得极大值;若左负右正,则取得极小值.结论求解函数极值的一般步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求函数的导数f’(x);(3)令f’(x)=0,求出全部的根;(4)列表:用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域
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