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1、学科分类号（二级）110.47本科学生毕业论文（设计） 题 目 Navier-Stokes方程的幂级数解法姓 名 罗建兴 学 号 114080370 院、 系 数学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 刘薇 职称（学历）副教授Navier-Stokes方程的幂级数解法摘要：Navier-Stokes方程是从复杂的流体运动中简化出来的一个重要的物理模型.通过对这个模型的深入研究可以帮助我们掌握自然规律,从而推动自然科学进步.但是,Navier-Stokes方程是一个非线性的偏微分方程,求解
2、十分困难.到现在为止,只有少数非常简单的流动问题才能求得其精确解,大多数还是通过离散方法求得数值解.所以,对Navier-Stokes方程的研究是十分有意义的.本文旨在将二维空间下的Navier-Stokes方程展开形成幂级数的形式,通过拼凑、递推、以及待定系数法求解方程.关键词：Navier-Stokes方程;幂级数解法;待定系数1前言纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokesequations）是流体力学中一个非常重要的描述液体和空气这样的流体流动的非线性偏微分方程.因1821年法国科学家纳维（Claude-LouisNavier）和1845年由
3、英国物理学家斯托克斯（George-GabrielStokes）分别导出而得名.它是1827年纳维在理想流体欧拉运动方程的基础上加上粘性项,后经柯西、泊松和纳维特等学者的研究,最后在1845年由斯托克斯完成粘性流体的运动微分方程.Navier-Stokes方程在流体力学中占有非常重要的地位.在物理学的意义下,Navier-Stokes方程由质量、动量和能量守恒的基本原理,建立了流体力学中粒子的运动速率,分子间相互作用的粘性力、液体内部的压力变化以及重力之间的关系.可以用它来解释生活中的各种各样的物理现象,例如：飞机羽翼周围的气流、飞行器的设计、管道中流体
4、的运动、轴承润滑、大气运动等等.由于高性能计算机的迅速发展,现在已经可以迅速准确的确定飞机的外形、喷气式发动机的喷嘴、汽轮机叶片的最优形式,并且在气象预报、油田开发的动态模拟、水利工程的各种水流问题、环境污染预报、人工脏器的流体力学等各个领域发挥着越来越大的作用.对Navier-Stokes方程的研究迄今为止已有200多年的历史.很多世界上一流的数学家都深入的研究该方程,并获得了很多有意义的结果.然而,对Navier-Stokes方程的真正的数学理论的研究是从20世纪30年代法国数学家Leray关于弱解的整体存在性的奠定性工作开始的.他构造了三维空间下N
5、avier-Stokes方程的一个整体弱解.后来德国数学家Hopf也对Navier-Stokes方程进行了弱解的研究,所以Navier-Stokes方程的弱解也成为Leray-Hopf弱解.20世纪50年代苏联著名女数学家Ladyzhenskaya与Kiselev证明了二维Navier-Stokes方程光滑解的整体适应性.J.Serrin和Veiga对Navier-Stokes方程弱解的正则性和唯一性也做了大量工作.但是,至今为止,弱解的唯一性和正则性,即强解的整体存在性,仍是一个极具挑战性的问题.2000年,Clay数学家把他列为七个价值100美元的数
6、学难题之一.著名数学家Fefferman对这个问题作了专门的介绍和评论,他断言,如果没有新的分析工具和数学思想,这个难题将很难得到解决.此外,中科院数学家数学交流中心把Navier-Stokes方程作为一个重要的研究对象：研究三维不可压的Navier-Stokes方程光滑解的整体存在性和稳定性,为航空、航天飞行器外形运动布局,气象异常换流解,海洋层流的运动等科学问题的研究提供理论基础.2幂级数形如的函数项级数称为幂级数.当时,相应的级数为二元幂级数.幂级数是一类简单的函数项级数,它是高等数学中一个非常重要的内容,其简单的结构形式和逐项求导、逐项可积的优良
7、性质使之成为一种有效的计算工具,它能用于近似值计算、积分计算、数项级数求和、欧拉公式、函数多项式的逼近、微分方程求解等问题中.巧妙的利用函数幂级数展开式及其幂级数的性质能够把一个复杂的问题和一些不容易解决的问题表达成形式简单、性质活泼的易于理解和解决的幂级数形式,所以,运用幂级数解法解决复杂的、难以理解的数学问题往往可以思路清晰,条理清楚,易于解答.3用幂级数解法求解Navier-Stokes方程3.1将方程展开成幂级数形式3.1.1Navier-Stokes方程的基本形式Navier-Stokes方程的基本形式为.其中：是向量,它表示的是流体的速度,表
8、示的是粘性系数.并且：,...于是,原方程变为：(*）3.1.2方程展开成幂级数
