微分方程的幂级数解法.docx

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1、第十二节微分方程的幂级数解法内容分布图示★一阶微分方程的幂级数解法★例1★例2★二阶齐次线性方程幂级数解法★例3★例4★内容小结★习题12—12★返回内容要点：一、一阶微分方程的幂级数解法当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时,就要寻求其它求解方法,尤其是近似求解方法,常用的近似求解方法有:幂级数解法与数值解法.问题求dyf(x,y)(a)dx满足y

2、xx0y0的特解,其中f(x,y)a00a10(xx0)a01(yy0)aim(xx0)l(yy0)m,解法假设所求特解可展开为xx0的幂级数yya(xx)a(xx)2,(b)01020其中a1,a2,,an,为待定的系数.将(

3、b)代入(a)中,得到一恒等式,比较恒等式两端xx0的同次幂的系数,就可定出常数a1,a2,,以这些常数为系数的幂级数(b)在其收敛区间内就是方程(a)满足初始条件y

4、xxy0的特解.0二、二阶齐次线性方程幂级数解法定理若方程yP(x)yQ(x)y0中的系数P(x)与Q(x)可在RxR内展为x的幂级数,则原方程必有如下的幂级数解:yanxn.n0解法设解为yanxn,将P(x),Q(x),f(x)展开为xx0的幂级数,比较恒等式两n0端x的同次幂的系数,确定y.例题选讲：一阶微分方程的幂级数解法例1求定解问题yxyy

5、x0的幂级数解.0例2求yxy2满足y

6、x00的特解.二阶齐次线

7、性方程幂级数解法例3求方程yxyy0的解.例4求解勒让德(Legendre)方程(1x2)y2xy(1)y0.(n为常数).nn勒让德（Legendre,Adrien-Maric，1752~1833）勒让德是法国数学家,1752年9月18日生于巴黎;1833年1月9日卒于巴黎.勒让德出身于一个富裕家庭，就读于巴黎的马扎林学院。他受过科学教育，特别是数学方面的高等教充。1770年18岁时，通过了数学和物理方面的毕业论文答辩。1783年作为一名力学副研究员被选进科学院。1785年被提升为合作院士。1787年，他被科学院指派担任巴黎和格林尼治天文台联合进行的大地测量工作，并参加了皇家学会

8、。1794年成为马位专科学样的纯粹数学教授。1799年，他继拉普拉斯之后在巴黎综合工科学术担任研究生答辩的数学考人。1813年，样格朗日去世，由勒让德取代了他在经度局的位置，并在那里终其余生。勒让德在数学方面的贡献，首先表现在椭圆函数论。他提出对这一类型的所有函数进行比较，将其区别归类，把每一个变成可能的最简形式，并利用最容易、最快速的近似法对其求值，进而作为一个整体从理论上建立一个算法系统，1826年他出版了《椭圆函数论》。数论是勒让德特别关注的第二个重要领域。1785年，他所发表的“不定分析的研究”一文中即载有二次剩余互反律及其若干应用的说明，把数分解成三个平方数的理论的概述，

9、还陈述了一条以后变得很有名的定理：“每一个首项和公比互素的算术级数中都含有无限多个素数。”1798年，他又发表了《数论随笔》。他在这本书里，用更系统和更彻底的方法处理了“不定分析的研究”中的那些论题。他是拉格朗日的门徒，也超过了欧拉的所有弟子，他和当时其他数学家一样，既处理抽象数学，也研究数学在宇宙系统中的应用。他的著作是过渡性的，很快就陈旧了。但尽管如此，他仍是一位不平凡的计算工作者，一位熟练的分析学家，而且总的说来，是一位优秀的数学家，特别是在椭圆函数和数论方面做出了杰出的贡献。