微分方程的幂级数解法

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1、§13.8微分方程的幂级数解法一、问题的提出dy22例如=x+y,dx解不能用初等函数或其积分式表达.寻求近似解法:幂级数解法;卡比逐次逼近法;数值解法.dy二、=f(x,y)特解求法dxdy问题求=f(x,y)满足yx=x0=y0的特解.dx其中f(x,y)=a+a(x-x)+a(y-y)00100010lm+L+a(x-x)(y-y).lm002y=y+a(x-x)+a(x-x)+L01020其中a,a,L,a,L为待定的系数.12ndy2例1求=x+y满足y

2、=0的特解.x=0dx解Qx=0，y=0,0023n设y=ax+ax+ax+L+ax+L,123n12n-1y¢=a+2ax+3a

3、x+L+nax+L,123n将y,y¢的幂级数展开式带入原方程23a+2ax+3ax+4ax+L12342342=x+(ax+ax+ax+ax+L)123422324=x+ax+2aax+(a+2aa)x+L112213比较恒等式两端x的同次幂的系数,得11a=0,a=,a=0,a=0,a=,L,123452201215所求解为y=x+x+L.220小结:无初始条件求解¥n可设y=C+åanx(C是任意常数)n=1三、二阶齐次线性方程幂级数求法定理如果方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0中的系数P(x)与Q(x)可在-R

4、anxn=0的解.¥作法n,设解为y=åanxn=0将P(x),Q(x),f(x)展开为x-x的幂级数，0比较恒等式两端x的同次幂的系数,确定y.例2求方程y¢¢-xy¢-y=0的解.¥n解设方程的解为y=åax,nn=0¥¢n-1则y=ånanx,n=0¥¥n-2ny¢¢=ån(n-1)anx=å(n+2)(n+1)an+2x,n=1n=0将y,y¢,y¢¢带入y¢¢-xy¢-y=0,¥¥¥å(n+2)(n+1)axnn-1nn+2-xånanx-åanx=0,n=0n=0n=0¥nå[(n+2)(n+1)a-(n+1)a]xº0,n+2nn=0aa=n,n=0,1,2,Ln+2n+2aaa

5、0a=0,a=0,La=,242kk!2k28aaaa=1,a=1,La=1,352k+1315(2k+1)!!原方程的通解k=1,2,3,L¥2n¥2n+1xxy=a0ån+a1ån=02n!n=0(2n+1)!!(a,a是任意常数)01四、小结微分方程解题思路作变换分离变量法非非一阶方程积分因子变全全微分方程量微作降可分变阶常数变易法分方换离程高阶方程特征方程法幂级数解法待定系数法思考题什么情况下采用“幂级数”解法求解微分方程？思考题解答当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时,常用幂级数解法.练习题一、试用幂级数求下列各微分方程的解:1、y¢-xy-x=1；2、xy¢¢-(x+m)y¢

6、+my=0.(m为自然数)二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:2311、y¢=y+x,y=；x=022dxdx2、+xcost=0,x=a,=0.2t=0dtdtt=0练习题答案2x213一、1、y=Ce+[-1+x+x+1×32n-1xL++L]；1×3×5×L×(2n-1)mkxx2、y=C1e+C2å.k=0k!11121394二、1、y=+x+x+x+x+L；2481632122495582、x=a(1-t+t-+t-L.2!4!6!8!§12.9常系数线性微分方程组的解法步骤:１．从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程．２．

7、解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知函数.３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来，不必经过积分就可求出其余的未知函数．ìdy=3y-2z,(1)ïdx例1解微分方程组ídzï=2y-z.(2)îdx解设法消去未知函数，y由(2)式得1ædzöy=ç+z÷(3)2èdxø2dy1ædzdzö两边求导得，=çç2+÷÷,(4)dx2èdxdxø把(3),(4)代入(1)式并化简,得2dzdz-2+z=02dxdxx解之得通解z=(C1+C2x)e,(5)1x再把(5)代入(3)式,得y=(2C+C+2Cx)e.(6)1222原方程组的通解为ì1xïy=(2C1+C2+2C2x)eí2,ïz=(

8、C+Cx)exî12d用D表示对自变量x求导的运算,dx(n)(n-1)例如，y+ay+L+ay¢+ay=f(x)1n-1n用记号D可表示为nn-1(D+aD+L+aD+a)y=f(x)1n-1n注意:nn-1D+aD+L+aD+a是D的多项式1n-1n可进行相加和相乘的运算．2ìdxdyt+-x=eï2ïdtdt例2解微分方程组í2ïdydx++y=0.ïî2dtdtd解用记号D表示,则方程组可