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时间：2020-03-17
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1、第十一节微分方程的幂级数解法一、一阶微分方程问题二、二阶齐次线性微分方程问题微分方程解法:积分法—只能解一些特殊类型方程幂级数法—本节介绍数值解法—计算数学内容本节内容:第七章一、问题的提出解不能用初等函数或其积分式表达.寻求近似解法:幂级数解法;数值解法.卡比逐次逼近法;二、特解求法问题假设所求特解可展开为的幂级数解例1比较恒等式两端x的同次幂的系数,得小结:无初始条件求解(C是任意常数)定理三、二阶齐次线性方程幂级数求法作法比较恒等式两端x的同次幂的系数,确定y.解例2原方程的通解例3.的一个特解.解
2、:设特解为代入原方程整理得比较系数得:可任意取值,因是求特解,故取从而得当n>4时,因此注意到:此题的上述特解即为例4.解:求解勒让德(Legendre)方程展成幂级数,满足定理条件(因其特点不用具体展开它).设方程的解为代入③:③整理后得:比较系数,得例如:于是得勒让德方程的通解:上式中两个级数都在(－1,1)内收敛,可以任意取,它们是方程的两个线性无关特解.四、小结微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程非变量可分离幂级数解法降阶作变换作变换积分因
3、子思考题什么情况下采用“幂级数”解法求解微分方程？思考题解答当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时,常用幂级数解法.练习题练习题答案
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