8第八讲 不可压缩的navier-stokes方程的解法

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1、不可压缩Navier-Stokes方程的数值方法不可压缩Navier-Stokes方程的特点人工压缩性方法（求解定常方程）投影法涡量-流函数方法（二维问题）SIMPLE方法1§0不可压缩Navier-Stokes方程的特点密度为常数的不可压缩Navier-Stokes方程组：∇⋅V=0V⋅∇V=∇⋅(VV)∂V12+V⋅∇V=−∇p+∇V温度对密度的影∂tRe响可忽略不计特点：动量方程与能量方程解耦压强不能时间推进压强属于约束变量而不是发展变量求解可压缩不可压缩易处压强可推进求解，易于使用压强方程具有椭圆性，无法推进显格式求解。压强方程收敛性

2、差难处可能出现间断不会出现间断研究重点激波捕捉压强处理2奇偶失联与交错网格∂u∂v压力项，通+=0常采用中心∂x∂y差分离散∂u∂u∂u∂p12∂t+u∂x+v=−∂x+Re∇u∂ppi+1,j−pi−1,j∂ppi,j+1−pi,j−1∂y=,=∂v∂v∂v∂p1∂xi,j2Δx∂yi,j2Δy2+u+v=−+∇u∂t∂x∂y∂yRe极端情况：棋盘式压力场p−pp−pi+1,ji−1,ji,j+1i,j−1高压低压=0,=02Δx2Δy特点：高压-低压点间隔分布∂p∂p采用中心差分格式计算出：==0∂x∂y流场竟

3、然“保持稳定”“奇偶失联”3∂u∂v+=0∂x∂y常用措施：交错网格∂u∂u∂u∂p12+u+v=−+∇u∂t∂x∂y∂xRei-1ii+1∂v∂v∂v∂p12+u+v=−+∇u∂t∂x∂y∂yRe∂u∂u∂u∂p12+u+v=−+∇uj+1∂t∂x∂y∂xRevi,j+1/2在u的网格点上离散（黑控制体）ppi,ji+1,jj∂ppi+1,j−pi,ju=i+1/2,j∂xΔxi+1/2,j∂v∂v∂v∂p12+u+v=−+∇uj-1∂t∂x∂y∂yRe在v的网格点上离散（蓝控制体）∂ppi,j+1−pi,j=交错网格示

4、意图∂yΔxi,j+1/2压力ppi,j注：对流项通常采用迎风格式离散速度uui+1/2,j∂u+∂u−∂uu=u+uu±u±∂x∂x∂xu=v2速度vi,j+1/2后差前差42)对流项的处理原则∇⋅V=0∂V12守恒型普通型+V⋅∇V=−∇p+∇V∂tRe关系式1：∂(uu)∂(uv)∂u∂y∂u∂v∇⋅(VV)=V⋅∇V+V(∇⋅V)=V⋅∇V+=u+v+u(+)∂x∂y∂x∂y∂x∂y∂(uv)∂(vv)∂v∂v∂u∂v+=u+v+v(+)∂x∂y∂x∂y∂x∂y关系式2：12V⋅∇V=∇V+ω×V兰姆-葛罗米柯等式ω=∇×V2

5、∇⋅V=0~2∂V~12p=p+V/2总压+ω×V=−∇p+∇V∂tRe表达式优点不足普通型V⋅∇V简单，易于迎风有混淆误差守恒型∇⋅(VV)简单，守恒有混淆误差旋度型ω×V混淆误差小计算量大5§1人工压缩性方法（求解定常方程）∇⋅V=0∂p+β∇⋅V=0∂V1∂t2+V⋅∇V=−∇p+∇V∂V1∂tRe+V⋅∇V=−∇p+∇2V∂tReβ>0人工压缩性因子达到定常态∂p∇⋅V=0+β∇⋅V=0∂t增大可令压力收敛加快，β流动压缩时（∇⋅V<0），压力升高流动膨胀时（∇⋅V>0），压力降低但会增加方程的刚性（降低时间步长）。2∇⋅V<0人工压

6、缩性因子β相当于c∇⋅V>0∂∂∂∂ρρpp1==2∂∂∂∂tptcts∂p2+c∇⋅V=0∂t6∂p对于定常问题，需要迭代到收敛+β∇⋅V=0∂t∂V12+V⋅∇V=−∇p+∇V∂tRen+1nn+1n1n+1nmax(u−u,v−v,p−p)≤εβ对于非定常问题，需要内迭代（效率较低）∇⋅V=0∂p+β∇⋅V=0∂V12∂t+V⋅∇V=−∇p+∇V∂tRe∂V12+V⋅∇V=−∇p+∇V∂tRenStep1:得到n时间步的值VStep2:进行如下内迭代直至收敛k+1k内迭代收敛慢，效率较低；p−pk+β∇⋅V=0Δt通常不使用

7、人工压缩方法解非k+1k定常问题。V−Vnnk12n+V⋅∇V=−∇p+∇VΔtRen+1Step3:收敛后的V即为V7§2求解压力Poisson方法（投影法）1）压力的控制方程∇⋅V=0∂V12+V⋅∇V=−∇p+∇V∂tRe对动量方程求散度2∇p=−∇⋅(V⋅∇V)Poisson方程——压力的控制方程2∇p=−∇⋅(V⋅∇V)无法时间推进∂V12+V⋅∇V=−∇p+∇V需联立求解，通常采用∂tRe时间分裂法82）投影法——求解微分型压力Poisson方程∇⋅V=0原理：将时间推进分成三个子步，中间步解出压力∂V12+⋅()VV∇−∇+V∇

8、=p0∂tReStep1:预算步可时间推进*nVV−12n不能时间+⋅()VV∇−∇=V0ΔtRe推进Step2:压力修正步n+1*V−V+∇p=021*Δt∇p=