高阶方程的降阶和幂级数解法

《高阶方程的降阶和幂级数解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、特别是，对于二阶（变系数）齐线性方程，如果知道它的一个非零特解，则可利用降阶法来求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解。对于非齐线性方程，只需再运用常系数变易法求出它的一个特解，问题也就解决了。第三节、高阶方程的降阶和幂级数解法一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理方法：降阶。在于寻找齐线性方程的一个非零特解。因此，问题的关键：一、可降阶的一些方程类型方程不显含自变量的方程，可引进变换把原方程降一阶为阶方程。齐线性方程：通过非零特解作变换进行降阶。方程不显含未知函数，或更一般地，设方程不含,即方程可降阶为阶方程。主要内容二、二阶线性方程的幂级数

2、解法(目的：变换之后的方程能够求解。)一般形式的n阶微分方程：特殊形式的n阶微分方程：引入变换：降阶后的微分方程：1、方程不显含未知函数，或更一般地，设方程不含,即方程可降阶为阶方程。一、可降阶的一些方程类型【例1】求方程的解.分析：引进变换，改写原方程，多次积分.2、方程不显含自变量t的方程，可引进变换把原方程降一阶为n-1阶方程。实质：若令，并以它为新的未知函数，而视x为新的自变量，此时方程可降一阶。事实上，有于是，有一、可降阶的一些方程类型【例2】求方程的解。讨论：的情况．分析：引进变换，改写原方程，求解，讨论.讨论：的情况．求解得,作变换有变量还

3、原得到原方程的解。当，即时，有解：.【例3】求数学摆的运动方程满足初始条件：t=0时，的解。分析：引进变换，改写原方程，求解，讨论.有利用初始条件，有结论：非线性的情形比线性的情形要复杂得多。是一个椭圆积分，不能用初等函数表示出来。是摆从最大正偏离角第一次到达所需时间。令有通过分析，只需讨论摆在时间内的情况即可。3、齐线性方程分析：求n阶齐线性方程（4.2）无普遍方法，这与常系数方程的求解有着很大的区别，但是通过分析知道，如果有一个非零特解，则利用变换，可将方程降低一阶;如果知道k个线性无关的特解，则通过一系列同类项的变换，使方程降低k阶，并得到n-k阶

4、方程，也是齐线性的。一、可降阶的一些方程类型引进变换，并引入新的未知函数便得到新的n-1阶方程。设是方程（4.2）的k个线性无关的解。求解（4.67）,就知道它的k-1个线性无关的解。这种方法对于二阶齐次线性微分方程尤其有效。如果知道它的一个非零解，则方程的求解问题解决了。（让同学们先推导！）通过以上类似的变换，对方程（4.67）实施同样的变换，可将（4.67）降为n-2阶的方程，如此进行下去，可以将原方程（4.2）变为n-k阶方程。设是二阶齐线性方程的解。于是有通解为：例3已知是方程的解，试求方程的通解。解：1、公式法：已知特解求通解；2、直接推导法：

5、熟悉根据特解求通解的过程。二、幂级数解法二阶变系数齐线性方程的求解问题归结为寻求它的一个非零解，找非零解是一件很困难的事？而方程的系数是自变量的函数，不能再用代数方法去求解了。但是，从微积分学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，用幂级数来表示微分方程的解。例5求方程的满足初始条件y(0)=0的解。解：分析：设y可以表示成级数形式：为方程的解，这里是待定系数，由此有将的表达式代入方程，并比较x的同次幂的系数，得到及y(0)=0，就有,利用数学归纳法可以推得，一般地代入（4.71）得这就是所求的解。事实上，方程是一阶线性的，

6、容易求得它的通解而由条件y(0)=0,确定常数c=-1，即得方程的解为。例6求方程的满足初始条件y(0)=0的解。解：以代入原方程并比较的同次幂的系数。并利用初始条件，有于是有此级数对任何都是发散的，故，所给问题没有形如假设形式的级数解。注意：并不是所有的微分方程的解都能表示成x的幂级数形式，它们或者因为级数的系数无法确定，或者因为所得级数不收敛。究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示？级数的形式如何？其收敛区间如何？等等这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，在此不作介绍。可参阅叶彦谦翻译的《高等数学教程》第三卷第三分册第五章。这里

7、只提一下Bessel方程和Bessel函数。考虑二阶齐线性方程及初始条件注：总可以假定，否则作变换定理10若方程(4.72)中系数和都能展成的幂级数，且收敛区间为，则方程（4.72）有形如的特解，收敛半径也为。定理11若方程（4.72）中系数和都具有这样的性质，即和能展成的幂级数，且收敛区间为，则方程（4.72）有形如的特解，收敛半径也为。是一个待定常数。4.3.3第二宇宙速度的计算问题计算发射人造卫星的最小速度，即所谓第二宇宙速度。在这个速度下，物体将摆脱地球的引力，像地球一样绕着太阳运行。注意分析说明方程的来源和求解方法。通解为：实际上就是解一个二阶

8、微分方程（牛顿第二定律）。利用初始条件，当时，，有因而有物体运动速度必须是正的，