高阶微分方程的降阶和幂级数解法.doc

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1、§4。3高阶微分方程的降阶和幂级数解法教学目的本章主要讨论高阶微分方程的降阶以及二阶线性方程的幂级数解法教学要求会把高阶微分方程降阶以及会用幂级数解法解某些二阶线性方程教学重点一些高阶阶微分方程的降阶类型的解法；幂级数解法教学难点二阶线性方程幂级数解法教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。一般的高阶微分方程没有普遍的解法，通常是通过变代换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程来求解，因为一般来说求解低阶方程比求解高阶方程方便些,本节主要介绍一些可降阶的方程类型和求特解的幂级数解法.一.可降阶的一些方程类型n

2、阶微分方程的一般形式(4.57）⒈不包含未知函数x,或更一般地，不包含未知函数及其直到k－1（k≧１)阶导数的方程是：　　　　　　(4。58）如果能求得(4。58)的通解即对上式经过k次积分即方程(4.57）的通解这里为任常数。例1求方程的解解：令，则方程化为这是一个一阶方程，其通解为,即有积分四次得原方程的通解⒉不包含自变量t的方程其一般形式是：（4.59)此时,用作为新的未知函数而把x作为新的自变量。因为用数学归纳法易得可用来表达,将这些表达式代入(4。59)可得：即有新方程它比原来的方程(4.59)降低了一阶：例2求方程的解解令，要取X作为新的自变量，于是

3、原方程化为从而可得及这两方程的全部解是再代入原来变量得到所以原方程的通解是3)已知各线性方程的非要特解,进行降阶①设正二阶齐线性方程（4.69）的非要解令则代入(4。69)得即引入新的未知函数方程变为是一阶线性方程解之得因而(4.70）这里是任意常数。取，得(4.69)的一个特解因它与之比不等于常数故线性无关因此(4.70)为（4.69)的通解例3已知是方程的解可求方程的通解解这是由（4。70)得到为任常数②一般已知齐次线性方程(4.2)的K个线性无关解其中令，则代入（4。2），得由于为（4。2)的解故Y的系数恒等于零而代为不包含Y的方程:令,则在的方向上方程变

4、为(4。07)且是(4。67)的个线性无关解，事实上，x……为（4.2）解及或因此是4.67)的解,若则即由线性无关知全为零.故线性无关。因此,对(4.61)■以■做法，令。则又可把方程化为关于u的n—1阶齐线性方程。(4。68)一直下去，可降低n—k阶一.二阶线性方程的幂级数解法对二截变函数齐线性方程（4。72）其求解问题归结为寻求它的一个非零解,由于是变函数，因此不能像§4.2那样利用代数方法先求解.但从微分学中知道,在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数.因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢?下面讨论这一问题.为此先列出下面两个定理.（■

5、■一般性,可设)定理10。若方程（4。72)中系数和都能展成x的幂级数，且收敛区间为〈R，则方程（4.72）有形为(4。73)的特解。也以

6、负常数。解：将方程改写成（4.74)易见，它满足定理11的条件，且按x展成的幂级数收敛区间为，则方程有形为(4。75)的特解。这里，而是的待定常数,将(4。75)代入(4。74）中,得比较x的同次幂系数,得k=2，3，…因为则为从而为确定起见，暂令由（4.76）得k=2,3，…即k=1,2,…从而可得k=1，2,…因此在时,得到Bessel方程的一个解(4.77）若将任常数取为这里到p〉0时,因此（4.77)变为(4。77）当时,完全类似可得,k=1，2,…若取则可得（4.74)另一个特解（4.78）达朗贝尔判别法，对任x值（4。77)，（4。78）收敛，因此当

7、n≠非负整数时,为（4。74)的解，且线性无关.因而(4.74）的通解为这里为任常数。当n=正整数时,而时，不能从（4.76)中确定因此不能像上面一样求得通解.这时可以利用一，B介绍的除阶法,求出与线性无关的解,因而（4.74)的通解为是任常数例6。求方程的通解解：引入新变量t=2x我们有代入方程得这是n=的Bessel方程.由e解知，方程通解可表为代回原来变量得原方程的通解其中是任常数