数学分析讲义.doc

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1、在职人员考研辅导材料《数学分析》讲义第一讲极限定义:数列仏｝收敛于Aw/?o/£〉0,mNwN,当“wNII寸，当n〉N时，有an-A<£o即：limx=A.例1设lim=A,（这里Aw/?或+00厂00力试证:lim'LT…+乞=4。（注：A=oo,本命题不成立，如：>00fl｛0,1,・1,2,・2,3,・3…｝）。只证：当AeR,口勺+…+占“」歼一人

2、+

3、兀2-川+・・・+此一川nn•••lim兀〃=A、“TOC故X/£〉oo,mywN,当hgN时，当n>N时，有

4、x”—A

5、v£/2.从而当刃〉N］时,上式

6、+•••+xn、—A-A+…+xn一川•/lim“TQCX

7、—A]+卜?—內+•••+兀V]—A=0Ixi—川+x?—川+…+/.3A^2gN,当n>N2时，有——£<2但是兀M+1M+2.•.取N=max(N

8、,N2),为n>N吋，有__-A

9、lsin/=—lim——2宀02sin(^/3+r/2)sin(z/2)=—lim22°2sin—cos—222sin(^/3+r/2)sin(r/2)V

10、3练习1.2若lim=A,lim儿二B,A,BwR,则lim-WK二弋」丄=初。H—KC71—>00>CCfj求极限的方法要点：一重要极限丄1-lim(l+x)x=elim(l+—)H=elim=1A—>0PSflX->()兀二单调有界数列必收敛三夹逼定理x

11、A五变量代换六罗必达定理•1••sinasinx-sina.-/Sinx、——r/1smx-sma-———nlim(-—)x"a=lim[(l+；)sin「siz]sina•zsin6?z又解:原式=limcos(—"/3)2引32sinx例4设兀]=a.x2=b,兀〃=一hl,(斤>2)o求limx”2解：兀-Xn-="I£兀I=_*(X"T_兀"一2)(b-°)(1-(-*)z)=(£_无i)+(兀t一£-2)+•••+(兀2一E)+旺=]+a/•lim=3/2b-a2b+a+a=例5设a>0,X)>4a,3=—(xn+—),neN求li

12、m兀2£解：显然九；>0.下证:VngN,xn>4a.]^数学归纳法.无]>4ci.是条件设xk>4a,则xkV/zgN,有兀“〉4a.•7>a•%=*(“+22兀从而沁=丄(1+厶)<1.x“2xn因此limxn=A(存在)=>A=—(A+—).A2=a.A=y[a即limx“=J^n—xc2Ala—例6设kg(0,1).求lim[(M+l)A，-nk]解:原式=lim[^(l+-/-nk]"TOC/J(1+b=1+P丄+0(丄),nnn1KKp八1、Rkin(1+—)-ri=k+o(——)nnn例7求XT（）X解：・••丄—lv[丄]5丄，

13、无XX・••若兀>0,贝Ijl-x

14、%"+…+a“"）"=a.>ccn—>cc11证：（a/）"<（a{n+a2n+…+a“"）"<（nalt，l）n,lim'Vn=1.从而，原式=1.例11求/•（兀）在指定点处X。的左、右极限..1n/、~、xsin—>0⑴/⑴二x心=01+x2.x<0解:2'+12；(1)lim/(x)=limxsin—=0,A->0+'A-»0+X丄2：+1(2)limf(x)=lim—=1,2’-1limf(x)=lim(1+x2)=1xt(fxt(t丄2；+1limf(x)=lim——=-lx-»o-xt(t丄2"-1例12设只兀)是定义在(a,b)

15、上的单调函数.xQ€(a5Z?),则limf(x)=/(x0+0)与limfx)=/(xo-O)都存在。XT心证：只证limf(x)存在。XT%*•