数学分析讲义1.doc

《数学分析讲义1.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第一章实数集与函数§1实数重点：实数集的稠密性,两实数不等或相等的充要条件，Bernoulli不等式难点：”位不足近似及〃位过剩近似的概念及性质授课学时：1学时教学要求：要使学生知道任何一个实数都可用一个确定的无限小数来表示，并在数轴上演示其过程。让学生了解H位不足近似与〃位过剩近似的概念及有关〃位不足近似与«位过剩近似概念的不等式的命题，并给出肓观解释。要求学生重点掌握实数集的稠密性、两实数不等或相等的充要条件。一.实数及其性质：冋顾屮学中关于实数集的定义.强调任何一个实数都可用一个确定的无限小数来表示。实数集Rrfl有理数和无理

2、数两部分构成。有理数集R={-,P，9为整数，qHO}q二{有限I•进小数或无限T泄循环小数}无理数集合={无限十进不循环小数}实数集和数轴上的点之间存在一一对应。例演示在数轴上确定与3.627对应的点过程。任何一个有限小数都可看作无限循环小数(两种方式)例2」7=2」7000…=2」6999…若规定任何一个非零有限小数都用以9循环的无限小数來表示，0表示为0.()0…，则每个实数可以有唯一的无限小数表示。定义1设x=a{}.a}a2...aH...为非负实数。称有理数Xn~Un为实数X的舁位不足近似，而有理数—1称为X的II位过剩

3、近似，72=0,1,2,….对于负实数X=-…％…，其“位不足近似和«位过剩近似分别规定为1心=-aQ.a}a2...an心=-aQ.axa2...an注意:对任何实数X,有x0x{>x2>•••命题：设X与y为两个实数，则x>y的充分必要条件是存在非负整数H,使得心>K此命题的证明可以通过实数的无限小数表示的几何演示过稈加以解释。实数集的主要性质：1.四则运算封闭性2.实数集的有序性3.Rrchimedes性：fa,b€R,b>a>0,BngN,mna>h.4.稠密性：任何两个不相等的实数Z间必有另一

4、个实数，且既有有理数，也有无理数。5・实数集的几何表示数轴:6.两实数不等或相等的充要条件:(1)a/8>0,6?V6：>0,a-b-h0)(4)a-b

5、>-1,有不等式（1+x）z,>I+/?x,nGN.当兀>一1且xhO,neN且/zA2时，有严格不等式（l+x）"〉l+nx・证利用二项展开式得到的不等式：对Vx>0,由二项展开式（1+兀）"=1+nx+—x2+十+•••+*,2!3!有（1+x）">1+处.习题：Page4:Ex.1,Ex.3,Ex.8［集与确界原理重点：确界的定义，确界原理难点：有关确界的各种证明题授课学时：2学时教学要求：先介绍区问与邻域，再介绍有界集与无界集，让学生知道如何证明一个集合有界或者无界。哉后学习确界概念，掌握好如何证明一个数是一个集合的上（下）

6、确界的方法。%1.区间与邻域：定义（开区间，闭区问，半开半闭区间，有限区间，无限区间，区间，6/的/邻域ua》）及空心/邻域u°aJ）,d的/右邻域u+@,J）及d的/左邻域U©,5）,a的空心〃右邻域U°+（g,〃）ji及空心/左邻域Ul（d,»）,8的邻域，+8的邻域，・oo的邻域）%1.有界集与确界原理lo有界数集：定义1设S为R中的一个数集。若存在数A/（L）,使得对一切xgS,®有x5M（x>L）,则称S为有上界（下界）的数集，数M（D称为S的一个上界（下界）。若数集S既有上界又有下界，则称为S有界集。S有界o存在M>0,

7、使得对一切xeS,都有IxlWM.例闭区间、（a,b）（a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，集合E=[yy=sinx,xg(-oo,+oo)

8、也是有界数集.2.无界数集：定义：若S不是有界集，则称S为无界集。S无界oVM>0,3x0g5,31xQl>M.S无上界o>0,3x0g5,3x0>M.S无下界oVM>0,卞0gx0<-M.例(一8,+8),(—8,0),(0,+oo)等都是无界数集,集介£=jy

9、y=l,XG（0,l）j也是无界数集.3・上、下确界：定义2设S是R屮的一个数集，若〃满足：（1）对—切xgS,有x

10、2）对任何aa,则称77为数集S的上确界，记作“=supS.注意：给出上确界定义时强调：定义屮的第一句话表明〃是s的上界.第二句话表明〃是S的最小上界。第二句话还可以用£语言描述。定义2’〃是数集S的