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1、“数形结合”巧解解析几何问题四川省遂宁高级实验学校陈玉华我们都知道，解析几何的基本思想是用代数的方法(即坐标方法)研究几何问题．但是解析几何归根结底是研究解决几何问题的，因而又不能片面地强调用代数方法而忽略了几何图形本身的性质．在这里数形结合分析解决问题惟妙惟肖，各显神功．圆是特殊图形，在初中平面几何中我们学过许多有关圆的性质，如垂径定理，切线性质等．另外勾股定理，相似三角形性质、三角形中线、高线、角平分线性质，三角形内角和定理等等．在解决解析几何问题时，应充分利用平面几何性质，有时可大大减少计算量,使问题变得简单明了，解法漂亮，避免复杂计算．1.求轨迹问题【例1】已
2、知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切，与圆C2:(x-4)2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程。【分析】利用两圆内外切的充要条件找出点M点满足的几何条件,结合圆锥曲线定义求解.【解】设动圆M的半经为r,则由已知
3、MC1
4、=,
5、MC2
6、=,∴
7、MC1
8、-
9、MC2
10、=,又C1(-4,0),C2(4,0)∴
11、C1C2
12、=8,∴
13、C1C2
14、＞,据双曲线定义可知,点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支,∵,c=4∴,故点M的轨迹方程为:【点评】求曲线的轨迹方程时,利用几何条件探求轨迹的曲线类型,从而再利用待定系数法求出轨迹方程,这样可以减
15、少计算量,提高解题速度与质量.【例2】如图,△AOB中,∠AOB=,AB在直线上移动,求△AOB外心的轨迹方程.【解】设外心为M（x,y），连结MA、MB，∵∠AOB=，∴∠AMB=，过M作MN⊥AB于N，则∠AMN=，又∵M为△AOB的外心，∴
16、MA
17、＝
18、MO
19、,于是
20、MN
21、=
22、MA
23、＝
24、MO
25、,即，化简并整理得：．【点评】利用了圆的几何性质:圆心角等于圆周角的二倍，寻找到动点M的等量关系，大大地提高了解题效率.2.求值问题【例1】直线经过抛物线的焦点Ｆ,且与抛物线交于点Ｐ,Ｑ两点，由P,Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S.如果
26、PF
27、=,
28、QF
29、=,M
30、为RS的中点,则
31、MF
32、的值为()A.B.C.D.【解析】据抛物线的定义,有
33、PF
34、=
35、PR
36、,
37、QF
38、=
39、QS
40、,易知△PRS为直角三角形,故要求的是直角三角形斜边上的中线长,在直角梯形PRSQ中,容易求得
41、RS
42、=,故
43、FM
44、=
45、RS
46、=,选答案D.第4页共4页【点评】不会用圆锥曲线定义,想先求出M的坐标后,用两焦点间的距离公式求
47、MF
48、,由于计算中变量较多,关系复杂而无法计算出最后的结果.【例2】设动点P到两定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离分别为d1和d2,∠F1PF2=2,且存在常数,∈(0,1),使得d1d2sin2=,(1)证明:点P的轨迹C是双
49、曲线并求出方程,(2)如图,过点F2的直线与双曲线C的右支交AB两点,问是否存在,使△F1AB是以B为直角顶点的等腰直角三角形?【解析】（1）略（2）假设存在使Rt△F1AB为等腰直角三角形，记
50、AB
51、=t,
52、BF2
53、=x,则
54、BF1
55、=t,
56、AF1
57、=,由双曲线的定义可得：，在Rt△F1BF2中，，∵∴【点评】充分利用双曲线的定义及等腰直角三角形的性质入手，使整个运算过程，化繁为简，代数运算方法望尘莫及，体现了数学的简洁美.3.求范围问题【例1】已知椭圆的右焦点为F，过F作直线与椭圆相交于A、B两点，若有，求椭圆离心率的取值范围.【解析】如图示，据椭圆的对称性，不妨
58、∠AFX=,，设,则,其A、B两点在右准线上的射影分别为C、D，据椭圆的定义得：，过A作AE⊥BD于E，则，在Rt△ABE中得：【点评】利用椭圆的第二定义,抓住椭圆的对称性,构建直角三角形,转化为三角函数的有界性,近而求出离心率的范围,具有异曲同工之妙！4.求最值问题【例1】已知F是椭圆的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点.(1)求的最小值,并求点P的坐标.(2)求的最大值和最小值.第4页共4页【分析】问题(1)按常规思路,设P(x,y),则又P点在椭圆上,y可以用x表示,这样可以表示为x的一元函数,再求此函数的最小值,虽说此想法看上去可行,但实际操作起
59、来,十分困难,如果利用椭圆的第二定义,转化到点到准线的距离来求,问题就变得简单了.【解】(1)由椭圆方程,得:,∴,左焦点F(-2,0)左准线设点P到左准线的距离为,则,即∴,由于A在椭圆内,过A作AK⊥于K,易证
60、PK
61、即为的最小值,其值为,此时P点纵坐标为1,得到横坐标为,∴的最小值为,这时点P的坐标为(,1).(2)记椭圆的右焦点为F2(2,0),据椭圆的第一定义可知:,∴,而,∴,∴，.【点评】(1)转化是一种重要的数学思想，两小题充分利用了椭圆的第一、二定义，将看似没有“出路”的问题巧妙的化解了；（2）用几何法求最值“化曲为直”，其基本原理
