三角形内角和定理及其推论的应用.doc

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1、三角形内角和定理及其推论的应用本文将三角形内角和定理及其三个推论在解题中的应用介绍如下．供初二学生参考．一、要点归纳三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．推论1直角三角形的两个锐角互余．推论2三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论3三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．二、应用举例例1△ABC中，如果∠A+∠B=2∠C，∠A≠∠B，则∠C=60°．(1998年江苏连云港市中考试题)解：∠A+∠B+∠C=180°(定理)，又∠A+∠B=2∠C，故3∠C=180°．因而∠C=60°．例2如

2、图，△ABC中，AB=AC，D为BC上一点．过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F．求证　：AE=AF．(1997年上海市中考试题)证明：∵FD⊥BC于D，∴∠B+∠F=90°．∠C+∠1=90°(推论1)．∵AB=AC．∴∠B=∠C(等边对等角)，∴∠F=∠1(等角的余角相等)．又∵∠1=∠2(对顶角相等)，∠2=∠F(等量代换)．AE=AF(等角对等边)．例3如图，AB∥CD，若∠ABE=130°，∠CDE=152°，则∠BED等于_______．(1998年山东省中考试题)解：如图，延长BE和CD

3、交于F，则∠BED=∠F+∠EDF(推论2)．∵∠CDE+∠EDF=180°(平角定义)，∠CDE=152°，∴∠EDF=28°．∵AB∥CD，∴∠ABE+∠F=180°(两线平行，同旁内角互补)．又∠ABE=130°，故∠F=50°．∴∠BED=28°+50°=78°．例4如图，已知P是△ABC中任意一点．求证：∠BPC＞∠A．证明：延长CP交AB于D，则∠BPC＞∠1(推论3)．又∠1＞∠A(推论3)，∴∠BPC＞∠A(不等式的性质)，例5如图，△ABC中，∠ABC=α，∠ACB=β，α＜β．AD、BE分别

4、是∠BAC、∠ABC的平分线，且AD、BE相交于O，从O点作OG⊥BC，G为垂足，则∠DOG=[]　解：连结OC∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴OC也平分∠ACB．∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°(定理)，∴∠BAC=180°-α-β又∠ADG是△ABD的外角，∴∠ODG=∠BAD+∠ABD∵OG⊥BC，△OGD是直角三角形，∴∠DOG+∠ODG=90°(推论1)．∴∠DOG=90°-∠ODG；故选A．练习题2．Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，则∠ACD=∠B，∠BCD=∠A．(

5、推论1)3．已知：如图，O是△ABC内一点．求证：∠AOB=∠1+∠2+∠C．(提示：延长BO或AO，用推论2证明)4．如图，已知∠A=28°，∠CED=96°，∠D=40°，求∠B的度数．(用定理和推论2解，∠B=16°)