应用三角形内角和定理及其推论解题例析

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1、--WORD格式--可编辑--专业资料--http://www.czsx.com.cn应用三角形内角和定理及其推论解题例析三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论1：直角三角形的两个锐角互余；推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；推论3：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。以上关于三角形的内角和定理及其推论在解题中有比较广泛的应用，下面举例说明。一、求角度的大小例1：在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3，则∠C=_______。解：依题意，不妨设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，因此由三角形的内角和定理可得

2、：x+2x+3x=180°，解之得：x=30°，故∠C=3x=90°。例2：如图1，已知∠1=20°，∠=25°，∠A=35°，则∠BDC的度数为_______。ACDD11BABCE图1图2解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-35°=145°，∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)-(∠1+∠2)=145°-(20°+25°)=100°.在△BDC中，∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-100°=80°.例3：如图2，在直角三角形ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于E，交AC于D。若∠B=53°，则

3、∠CDE=_______.解：∵△ABC是直角三角形，∠B=53°，∴由三角形内角和定理的推论1，得∠A=90°-53°=37°。再由三角形内角和定理的推论2，得∠CDE=∠A+∠AED=37°+90°=127°。二、求多角的和例4：如图3，一个任意的五角星，它的五个角(∠A、∠B、∠C、∠D、∠E)的和为（）A.50°B.100°C.180°D.200°--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--第1页共11页--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--htt

4、p://www.czsx.com.cnAA12C12DBEBECD图3图4解：由推论2知，∠2=∠B+∠D，∠1=∠C+∠E；又由定理知：∠1+∠2+∠A=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，故本题应选C。例5：如图4，已知∠A=60°，求∠B+∠C+∠D+∠E的度数。解：由题设可知，∠B+∠C=180°-∠1，∠D+∠E=180°-∠2，∴∠B+∠C+∠D+∠E=360°-(∠1+∠2）∵∠1+∠2=180°-∠A=120°,∴∠B+∠C+∠D+∠E=360°-120°=240°.三、求角的取值范围例6：如图5，在△ABC中，∠A>∠

5、B>∠ACB，延长AC到D，求∠BCD的取值范围。AADBCBCDE图5图6解：∵∠A>∠ACB，∠B>∠ACB，∴∠A+∠B>2∠ACB,∵∠A+∠B=180°-∠ACB，∴180°-∠ACB>2∠ACB,∴∠ACB<60°∵∠BCD+∠ACB=180°,∴∠BCD>120°,∴120°<∠BCD<180°.四、证角相等例7：如图6，求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C。析与证：由于在已知图形中没有三角形，因此要想利用三角形内角和定理及其推论证明结论成立，必须添加辅助线，构成证题所需的三角形。连结AD并延长到E，如图6中所示，则有∠BDE=∠BAD+∠B

6、，∠CDE=∠CAD+∠C，∴∠BDE+∠CDE=∠BAD+∠CAD+∠B+∠C，即∠BDC=∠A+∠B+∠C。--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--第2页共11页--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--http://www.czsx.com.cn五、证角不等例8：如图7，已知P是△ABC内的任意一点，求证：∠BPC>∠A。ACDEPBCDAB图7图8析与证：为了使∠BPC与∠A有联系，可延长BP交AC于D，于是由推论3知，∠BPC>∠PDC,而∠PD

7、C>∠A，故∠BPC>∠A。六、判断三角形的形状例9：在△ABC中，∠A=1∠B=1∠C，试判断三角形的形状。23解：∵∠A=1∠B=1∠C，∴∠B=2∠C，233又∠A+∠B+∠C=180°，∴1∠C+2∠C+∠C=180°,33∴∠C=90°,∴△ABC为直角三角形。七、解实际问题例10：一个零件的形状如图8所示，按规定∠A应等于90°，∠B和∠C应分别是32°和21°。检验工人量得∠BDC=148°，就可以确定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零不合格的理由。解：根据三角形内角和定理及其推论，可连结AD，并延长到E。∵∠CDE=∠CAD

8、+∠C，∠BDE=∠DAB+∠B，∴∠CDB=∠CAD+∠DAB+∠B+∠C。如果零件合格，那