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1、第7章矩阵的特征值和特征向量很多工程计算中,会遇到特征值和特征向量的计算,如:机械、结构或电磁振动中的固有值问题;物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大。特征值:的根为矩阵A的特征值特征向量:满足的向量v为矩阵A的对于特征值的特征向量称为矩阵A的特征多项式是高次的多项式,它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根来求矩阵的特征值。通常对某个特征值,可以用些针对性的方法来求其近似值。若要求所有的特征值,则可以对A做一系列的相似变换,“收敛”到对角阵或上(下)三角阵,从而求得所有特征值的近似。7.1幂法矩阵的按模最大特征值往往表现为阈值。如:矩阵的谱半径。幂法就是一种求矩
2、阵按模最大特征值的方法,它是最经典的方法。幂法要求A有完备的特征向量系。即A有n个线性无关的特征向量。在实践中,常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特征值和特征向量如下:特征值:特征向量:幂法可以求,基本思想很简单。设线性无关,取初值,作迭代设:则有:(1)若:则k足够大时,有可见几乎仅差一个常数所以:任意分量相除特征向量乘以任意数,仍是特征向量(2)若:则k足够大时,有所以:所以:这样,我们有算法:1、给出初值,计算序列2、若序列表现为,相邻两个向量各个分量比趋向于常数,则3、若序列表现为,奇偶序列各个分量比趋向于常数,则4、若序列表现为其他,退出不管求矩阵
3、A的按模最大的特征值解取x(0)=(1,0)T,计算x(k)=Ax(k-1),结果如下例kx1(k)x2(k)x1(k)/x1(k-1)x2(k)/x2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取0.41263,x1(0.017451,0.014190)T.在幂法中,我们构造的序列可以看出因此,若序列收敛慢的话,可能造成计算的溢出或归0改进-幂法的规范运算则,易知:所以,有:最大分量为1即(1)若:时,有时,有收
4、敛分别收敛反号的两个数(2)若:分别收敛到两个数,且绝对值不同。求:则:这样,我们有算法:1、给出初值,计算序列2、若序列收敛,则3、若序列的奇偶序列分别收敛,且两个数绝对值相同,则4、若序列的奇偶序列分别收敛,且两个数绝对值不同,则决定收敛的速度,特别是
5、2/1
6、希望
7、2/1
8、越小越好。不妨设1>2…n,且
9、2
10、>
11、n
12、。12nOp=(2+n)/2思路令B=ApI,则有
13、IA
14、=
15、I(B+pI)
16、=
17、(p)IB
18、Ap=B。而,所以求B的特征根收敛快。反幂法所以,A和A-1的特征值互为倒数这样,求A-1的按模最大特征值,就可以求出
19、A的按模最小特征值为避免求逆的运算,可以解线性方程组若知道某一特征根i的大致位置p,即对任意ji有
20、ip
21、<<
22、jp
23、,并且如果(ApI)1存在,则可以用反幂法求(ApI)1的主特征根1/(ip),收敛将非常快。思路7.1Jacobi方法-对称阵P为n阶可逆阵,则A与P-1AP相似,相似阵有相同的特征值。若A对称,则存在正交阵Q(QTQ=I),使得直接找Q不大可能。我们可以构造一系列特殊形式的正交阵Q1,...,Qn对A作正交变换使得对角元素比重逐次增加,非对角元变小。当非对角元已经小得无足轻重时,可以近似认为对角元就是A的所有特征值。Jacobi方法就是这样一
24、类方法。1、Givens旋转变换对称阵为正交阵p列q列记:则:变换的目的是为了减少非对角元的分量,则记则的按模较小根所以:2、Jacobi迭代取p,q使,则定理:若A对称,则解记A(0)=A,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2,于是有例用Jacobi方法计算对称矩阵的全部特征值.从而有所以再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,类似地可得从而A的特征值可取为12.125825,28.388761,34.485401为了减少搜索非对角线绝对值最大元素时间,对经典的Jacobi方法可作进一步改进.1.循环Jacobi方法:按(1,2),(
25、1,3),…,(1,n),(2,3),(2,4),…,(2,n),…,(n-1,n)的顺序,对每个(p,q)的非零元素apq作Jacobi变换,使其零化,逐次重复扫描下去,直至(A)<为止.2.过关Jacobi方法:取单调下降收敛于零的正数序列k,先以1为关卡值,依照1中顺序,将绝对值超过1的非对角元素零化,待所有非对角元素绝对值均不超过1时,再换下一个关卡值2,直到关卡值小于给定的精度.