高等数学教学讲解教学讲解教案（同济六版）2-1 导数概念.ppt

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1、第一讲导数概念导数概念一、导数概念二、求导举例导数概念一、导数概念二、求导举例一、导数概念(一)函数在一点处可导的概念(二)函数在区间上可导的概念一、导数概念(一)函数在一点处可导的概念(二)函数在区间上可导的概念(一)函数在一点处可导的概念1．引例2．导数定义3．单侧导数4．几何意义5．可导与连续的关系(一)函数在一点处可导的概念1．引例2．导数定义3．单侧导数4．几何意义5．可导与连续的关系（一）引例变速直线运动的速度（1）匀速运动：变速运动：平面曲线的切线（2）瞬时速度切线定义：（一）引例变速直线运动的速度（1）匀速运动：变速运动：平面曲线的切线（2）瞬时速度切线定义：（一）引例变

2、速直线运动的速度（1）匀速运动：变速运动：平面曲线的切线（2）瞬时速度切线定义：（一）引例变速直线运动的速度（1）匀速运动：变速运动：平面曲线的切线（2）瞬时速度切线定义：（一）引例变速直线运动的速度（1）匀速运动：变速运动：平面曲线的切线（2）瞬时速度切线定义：（一）引例变速直线运动的速度（1）匀速运动：变速运动：平面曲线的切线（2）瞬时速度切线定义：割线的极限位置（一）引例变速直线运动的速度（1）匀速运动：变速运动：平面曲线的切线（2）瞬时速度切线定义：割线的极限位置切线斜率物理问题几何问题不同点：背景不同（一）引例变速直线运动的速度（1）匀速运动：变速运动：平面曲线的切线（2）瞬时

3、速度切线定义：割线的极限位置切线斜率不同点：背景不同相同点：方法相同算增量求比值取极限（一）引例变速直线运动的速度（1）匀速运动：变速运动：平面曲线的切线（2）瞬时速度切线定义：割线的极限位置切线斜率不同点：背景不同相同点：方法相同数学形式相同极限极限(一)函数在一点处可导的概念1．引例2．导数定义3．单侧导数4．几何意义5．可导与连续的关系(一)函数在一点处可导的概念1．引例2．导数定义3．单侧导数4．几何意义5．可导与连续的关系即:定义设函数在点的某邻域内有定义,并称这个极限为函数在点处可导,当自变量x在x0处取得增量(点仍在该邻域内)时,相应的函数取得增量如果与之比当时的极限存在,

4、则称函数在点处的导数,记为也可记作:注变化率导数的实质:(1)线密度、电流强度…因变量y在区间上的平均变化率因变量y在一点处的变化率导数的背景(2)反应速度…物理：角速度、加速度、化学：经济学：边际成本…导数的定义式:(3)导数的定义式的其它形式:(4)例1初值必须是f(x0)形式相同存在若也称在的导数为无穷大.(5)若在点就说函数不可导不存在,(一)函数在一点处可导的概念1．引例2．导数定义3．单侧导数4．几何意义5．可导与连续的关系(一)函数在一点处可导的概念1．引例2．导数定义3．单侧导数4．几何意义5．可导与连续的关系若极限记作(左)(左)存在,定理定义在点的某个右邻域内有定义,

5、设函数则称此极限值为在处的右导数,函数在点可导和都存在且相等(一)函数在一点处可导的概念1．引例2．导数定义3．单侧导数4．几何意义5．可导与连续的关系(一)函数在一点处可导的概念1．引例2．导数定义3．单侧导数4．几何意义5．可导与连续的关系导数的几何意义曲线在点的切线斜率切线方程:法线方程:(一)函数在一点处可导的概念1．引例2．导数定义3．单侧导数4．几何意义5．可导与连续的关系(一)函数在一点处可导的概念1．引例2．导数定义3．单侧导数4．几何意义5．可导与连续的关系定理函数在点x0连续未必可导．例2在处连续但在处不可导例3在处连续但在处不可导注xoyxoy一、导数概念(一)函数

6、在一点处可导的概念(二)函数在区间上可导的概念一、导数概念(一)函数在一点处可导的概念(二)函数在区间上可导的概念定义定义定义若函数在区间I上的每一点处可导，这时，对于区间I上的任一点x，都对应着的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数的导函数．记作:或若函数在内的每一点处可导,则称函数在内可导.若函数在则称函数在上可导.在处右可导，在处左可导，内的每一点处可导,导函数与导数的区别与联系区别:函数数联系:注意:结论导函数的定义式函数在上可导函数在上连续导数概念一、导数概念二、求导举例导数概念一、导数概念二、求导举例用定义求导步骤:导函数的定义式:(1)算增量(2

7、)求比值(3)取极限例4例5例6例8求在处的导数例9确定a,b使处处可导在求处的导数求的导数求的导数例7求的导数注求分段函数在分段点处的导数必须用定义