资源描述：
《向量在探究轨迹问题中应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、向量在探究轨迹问题中应用新课标实施后，高考越来越注重以向量为背景和载体，与直线、圆、圆锥曲线、三角函数、不等式甚至数列结合命题,因此在高考复习中必须对向量给予高度重视.同时解题时若善用向量为工具可使问题得以简化•本文举例阐述利用向量共线定理和数量积处理共线（平行）与垂直两类动点轨迹问题，供同学们参考.问题1：平面上求过两点A（x^l,y^l）,B（x^2,y^2）的直线1方程这是一个直线的“两点式”方程问题，用解析法处理要讨论过A,B两点的直线斜率存在与不存在，即x❷l=x❷2与x❷lHx❷2两种情况.但这一问题如果借助于向量就可避免
2、讨论而得出一般的结论.简答：设直线1上任一点P（x,y）,TAP与AB共线，即（x-x❷1,y-y❷1）//（x❷2-x❷1,y❷2-y❷1）,（x-x❷1）（y❷2-y❷l）=（y-y❷1）（x❷2-x❷1）即为直线1方程说明：实际上有关共线或平行的轨迹问题均可借助向量，利用共线向量定理给出比较简洁的处理.例1G为AABC所在平面上一点，则G为AABC的重心的充要条件是GA+GB+GC=O简证：必要性:•・•G为△ABC的重心，.IAG二2GD二GB+GC,即-GA二GB+GC,・・・GA+GB+GC二0充分性：由GA+GB+GC二
3、0得GB+GC=-GA,取EC中点D,则GB+GC二2GD,2GD=-GA即2GD二AG,AAG=2GD,从而得知G为AABC的重心.例2已知OA,OB不共线，且OP=xOA+yOB（x,yeR）,则A,B,P三点共线的充要条件是x+y=l简证：必要性：7A,B,P三点共线，•••AP二入AB,・•・OP-OA=X（OB-OA）,・•・OP二（1-入）0A+入0B,又TOP二xOA+yOB,由平面向量基本定理可知：x=l-入，y二入，・x+y=l充分性：Vx+y=l,/.y=l-x,/.OP二xOA+（1-x）OB=x（OA-OB）
4、+0B,・・・OP-OB二x（OA-OB）即BP二xBA,Z.BP^BA,因为BP,BA有公共点B,.•.A,B,P三点共线.例3（2011年安徽理21）设入＞0,点A的坐标为（1,1）点在抛物线y二x❷2上运动，点Q满足BQ=入QA经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M点P满足QM二入MP求点P的轨迹方程解：由QM二入MP知O,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P（x,y）,Q（x,y❷0）,M（x,x❷2）,则x❷2-y❷0二入（y-x❷2）,即y❷0二（1+入）x❷2-入y①再设B（x^l,y❷1）,由BQ二入QA,即
5、（x—x❷l,y❷0—y❷1）二入（1—x,l—y❷0）得x❷1二（1+入）X-入❷y❷1二（1+入）y❷0-入②将①式代入②式消去y❷0得x❷1二（1+入）x-入❷y❷1二（1+入）❷2x^2—入（1+入）y-入③又点B在抛物线y二x❷2上所以y❷1二x❷2❷1再将③代入y❷1二x❷2❷1得（1+入）❷2x❷2-入（1+入）y-入二（1+入）❷2x❷2-2入（1+入）x+入❷22入仃+入）x—入（1+X）y-X（1+X）=0VA>0/.2x-y-l=0,故所过点P的轨迹方程为2x-y-l=0说明：这是一道高考压轴题，难度较大，但若抓
6、住两次共线这一特征，借助于向量共线定理，问题就较易处理.问题2:平面直角坐标系中，求A（x^l,y^l）,B（x^2,y^2）以为直径的圆C方程这是一个圆的'‘直径式”方程问题，同学们不必强记，借助于向量，则很快可给出结论.设P（x,y）为圆上任一点，TAB为直径,•••PA丄PB,・・・PA丄PB,即PA•PB二0•*.（x❷1-x,y❷1-y）（x❷2-x,y❷2-y）二0即（X-x❷1）（X-x❷2）+（y-y❷1）（y-y❷2）二0为圆C方程（直径式方程）说明：事实上有关垂直的轨迹问题均可借助向量，利用向量的数量积为零均可给出
7、简捷处理例4求过圆C:（x-a）❷2+（y-b）❷2二r❷2上一点P（x^O,y®））的切线方程简解：设Q（x,y）为切线上任一点，连CP,贝HCPIPQ,ACP•PQ=O即（X❷o—a,y❷o—b）•（x—x❷0,y—y❷0）二0・：（x❷0-&）（x—x❷0）+（y❷0-b）（y-y❷0）=0,即为所求切线方程.例5已知P（x❷0,y❷0）为圆0：x❷2+y❷2二r❷2外一点,过P分别作圆的两条切线，切点为A、B,求过A、B的直线方程简解：连0A,0B,贝U0A±PA,0B丄PB,设A（x^l,y^l）,B（x^2,y^2）由0A
8、•AP=O得（x❷l,y^l）•（x❷0-x❷1,y❷0-y❷1）=0即x❷lx❷0-x❷2❷1+y❷ly❷0-y❷2❷1二0Tx❷2❷1+y❷2❷1二r❷2，二x❷Ox❷1+y❷0y❷1二r❷2,同理x❷Ox❷2+y❷
