利用直角坐标系计算二重积分.ppt

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1、一、利用直角坐标系计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分第二节二重积分的计算法三、小结11）如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.1、积分域D:22）Y-型域：［Y－型］Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多于两个.b、32、X-型域下二重积分的计算:由几何意义，若ƒ(x,y)≥0，则此为应用计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法.截面为曲边梯形，其面积为：4yZ5注:若ƒ(x,y)≤0仍然适用.注意:1

2、）上式说明:二重积分可化为二次定积分计算;2）积分次序:X-型域先Y后X;3）积分限确定法:域中一线插,内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。为方便,上式也常记为：●“域中一线插”,须用平行于ｙ轴的射线穿插区域.63、Y-型域下二重积分的计算：同理：［Y－型域下］71）积分次序:Y-型域,先x后Y;注意:2）积分限确定法:域中一线插,内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。●“域中一线插”,须用平行于X轴的射线穿插区域。8注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。4、利用直系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形

3、,求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，将二重积分化为二次定积分；（2）根据积分域类型,判定积分区域是X型，Y型或必　　须分块处理；（4）计算两次定积分，即可得出结果.9解积分区域如图10解积分区域如图11解原式12解：［X－型］13［Y－型］14例5解：X-型15例6解：（如图）将D作Y型-1216解17解185、若区域为组合域，如图，则：06、如果积分区域既是X－型，又是[Y－型],则有19例9解：先去掉绝对值符号，如图20［X－型］7、小结21［Y－型］22有些二重积分，积分区域的边界曲线或被积函数用极坐标变量来表示比较简单，则可以考虑用极坐

4、标来计算二重积分．二、利用极坐标系计算二重积分231直系与极系下的二重积分关系（如图）（1）面积元素变换为极系下：（2）二重积分转换公式：24（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行“三换”：252极系下的二重积分化为二次积分用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限．将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算．26（1）区域如图1具体地（如图）图127（2）区域如图2图228（3）区域如图3图329（4）区域如

5、图4图430解31解32解333435解3637解在极系下：（如图）xyz38o2aD39(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:若积分区域为则若积分区域为则三、小结40则极坐标系情形:若积分区域为41(2)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式421.设且求提示:交换积分顺序后,x,y互换练习题432.交换积分顺序提示:积分域如图44P4112(1),(3);3(

6、2),(4);6(2),(4);12(1),(2);作业45