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时间:2020-03-24
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1、1.设A,B两厂产品次品率分别为1%和2%,若已知两厂产品分别占总数的60%和40%,现从中任取一件,发现是次品,求此次品是A厂生产的概率.解:记A=此产品是次品,B=此产品是A厂生产,C=此产品是B厂生产P(A)=P(B)P(A
2、B)+P(C)P(A
3、C)=0.6*0.01+0.4*0.02=0.014P(B
4、A)=P(B)P(A
5、B)/P(A)=0.6*0.01/0.014=3/7(贝叶斯公式P21)2.设随机变量X在区间[2,5]上服从均匀分布,求对X进行三次独立观测中,至少两次的观测值大于3的概率.解:X在区间[2,5]上服从均匀分布,即X的密度函数
6、为F(x)=1/3,27、差P83)4.(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里,求下列事件的概率(1)4个球全在一个盒子里;(2)恰有一个盒子有2个球.解:(1)记A=4个球全在一个盒子里则P(A)=C(4,4)*5/5^4=1*5/5^4=1256(2)记B=恰有一个盒子有2个球则P(A)=C(4,2)*5*4*3/5^4=6*5*4*3/5^4=72/1255.(本题10分)设随机变量ξ的分布密度为(1)求常数A;(2)求P(ξ<1);(3)求ξ的数学期望.解:(1)因为f(x)是一密度函数,所以A∫1/(1+x)dx=1解得A=1/(2ln2)(2)P(ξ<1)=P(0<ξ8、<1)+P(ξ<0)=∫1/{2ln2(1+x)}dx+0=1/2(3)Eξ=∫1/{2ln2(1+x)}xdx=3/(2ln2)-1(连续型随机变量P40,数学期望P80)6.(本题10分)设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是η=1η=2η=4η=5ξ=00.050.120.150.07ξ=10.030.100.080.11ξ=20.070.010.110.10(1)ξ与η是否相互独立?(2)求的分布及;解:(1)ξ与η不相互独立证明:η1245ξ012P0.150.230.340.28p0.390.320.29由于p11=0.05,而p0.=0.39,p9、.1=0.15,易见p11≠p0.*p.1由此,由定义知ξ与η不相互独立(2)ξ*η01245810P0.390.030.170.090.110.110.10所以,=3.16(边缘分布P54随机变量的独立性P59)7.(本题10分)有10盒种子,其中1盒发芽率为90%,其他9盒为20%.随机选取其中1盒,从中取出1粒种子,该种子能发芽的概率为多少?若该种子能发芽,则它来自发芽率高的1盒的概率是多少?解:记A=该种子能发芽,B=该种子来自来自发芽率高的1盒,C=该种子来自来自发芽率低的1盒则有分解A=BA∪CA依假设,P(B)=0.1,P(C)=0.9,P(A10、11、B)=0.9,P(A12、C)=0.2所以,P(A)=0.1*0.9+0.9*0.2=0.27(全概率公式P20)P(B13、A)=P(B)P(A14、B)/P(A)=0.1*0.9/0.27=1/36(贝叶斯公式P21)8.(本题12分)某射手参加一种游戏,他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元.若他射中目标,则得奖金100元,且游戏停止.若4次都未射中目标,则游戏停止且他要付罚款100元.若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.解:记X为他在游戏中的收益,则X的分布律为X90807060-140P0.30.210.1470.1029015、.2401EX=90*0.3+80*0.21+70*0.147+60*0.1029+(-140)*0.2401=26.659.(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5%,某人要采购一批零件,他希望以95%的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件?(注:,)解:不考10.袋中有大小、重量等完全相同的四个球,分别标有数学1,2,2,3,现从袋中任取一球,取后不放回,再取第二次。分别以X、Y记第一次和第二次取得球上标有的数字。求:(1)(X,Y)的联合概率分布;(2)X,Y的边缘分布;(3)判断X与Y是否独立。解:(1)XY123101/61/116、221/61/61/631/121/60(2)X12
7、差P83)4.(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里,求下列事件的概率(1)4个球全在一个盒子里;(2)恰有一个盒子有2个球.解:(1)记A=4个球全在一个盒子里则P(A)=C(4,4)*5/5^4=1*5/5^4=1256(2)记B=恰有一个盒子有2个球则P(A)=C(4,2)*5*4*3/5^4=6*5*4*3/5^4=72/1255.(本题10分)设随机变量ξ的分布密度为(1)求常数A;(2)求P(ξ<1);(3)求ξ的数学期望.解:(1)因为f(x)是一密度函数,所以A∫1/(1+x)dx=1解得A=1/(2ln2)(2)P(ξ<1)=P(0<ξ
8、<1)+P(ξ<0)=∫1/{2ln2(1+x)}dx+0=1/2(3)Eξ=∫1/{2ln2(1+x)}xdx=3/(2ln2)-1(连续型随机变量P40,数学期望P80)6.(本题10分)设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是η=1η=2η=4η=5ξ=00.050.120.150.07ξ=10.030.100.080.11ξ=20.070.010.110.10(1)ξ与η是否相互独立?(2)求的分布及;解:(1)ξ与η不相互独立证明:η1245ξ012P0.150.230.340.28p0.390.320.29由于p11=0.05,而p0.=0.39,p
9、.1=0.15,易见p11≠p0.*p.1由此,由定义知ξ与η不相互独立(2)ξ*η01245810P0.390.030.170.090.110.110.10所以,=3.16(边缘分布P54随机变量的独立性P59)7.(本题10分)有10盒种子,其中1盒发芽率为90%,其他9盒为20%.随机选取其中1盒,从中取出1粒种子,该种子能发芽的概率为多少?若该种子能发芽,则它来自发芽率高的1盒的概率是多少?解:记A=该种子能发芽,B=该种子来自来自发芽率高的1盒,C=该种子来自来自发芽率低的1盒则有分解A=BA∪CA依假设,P(B)=0.1,P(C)=0.9,P(A
10、
11、B)=0.9,P(A
12、C)=0.2所以,P(A)=0.1*0.9+0.9*0.2=0.27(全概率公式P20)P(B
13、A)=P(B)P(A
14、B)/P(A)=0.1*0.9/0.27=1/36(贝叶斯公式P21)8.(本题12分)某射手参加一种游戏,他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元.若他射中目标,则得奖金100元,且游戏停止.若4次都未射中目标,则游戏停止且他要付罚款100元.若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.解:记X为他在游戏中的收益,则X的分布律为X90807060-140P0.30.210.1470.10290
15、.2401EX=90*0.3+80*0.21+70*0.147+60*0.1029+(-140)*0.2401=26.659.(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5%,某人要采购一批零件,他希望以95%的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件?(注:,)解:不考10.袋中有大小、重量等完全相同的四个球,分别标有数学1,2,2,3,现从袋中任取一球,取后不放回,再取第二次。分别以X、Y记第一次和第二次取得球上标有的数字。求:(1)(X,Y)的联合概率分布;(2)X,Y的边缘分布;(3)判断X与Y是否独立。解:(1)XY123101/61/1
16、221/61/61/631/121/60(2)X12
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