全国高中数学联赛模拟试题(一).doc

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1、全国高中数学联赛模拟试题（一）第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1、已知集合，．若，则a的所有取值是（A）－1，1（B）－1，（C）±1，2（D）±1，－4，ABCDMNA1D1B1C1图12、如图1，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点M、N分别在AB1、BC1上，且AM＝BN．那么，①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面．以上4个结论中，不正确的结论的个数为（A）1（B）2（C）3（D）43、用Sn与an分别表示区间内不含数字9的n位小数的和

2、与个数．则的值为（A）（B）（C）（D）4、首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有（A）216个（B）252个（C）324个（D）432个5、对一切实数x，所有的二次函数（a＜b）的值均为非负实数．则的最大值是（A）（B）（C）3（D）26、双曲线的一个焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点．则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定（A）相交（B）相切（C）相离（D）以上情况均有可能二、填空题（每小题9分，共54分）1、已知复数，．若△ABC的3个内角∠A、∠B、∠C依次成等差数

3、列，且，则的取值范围是．2、点P(a,b)在第一象限内，过点P作一直线l，分别交x、y轴的正半轴于A、B两点．那么，PA2＋PB2取最小值时，直线l的斜率为．3、若△ABC是钝角三角形，则arccos(sinA)＋arccos(sinB)＋arccos(sinC)的取值范围是．4、在正四面体ABCD中，点M、P分别是AD、CD的中点，点N、Q分别是△BCD、△ABC的中心．则直线MN于PQ的夹角的余弦值为．5、在的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和是．6、集合A、B、C（不必两两相异）的并集A∪

4、B∪C＝{1,2,3,…,n}．则满足条件的三元有序集合组(A,B,C)的个数是．三、（20分）设p＞0，当p变化时，Cp：y2＝2px为一族抛物线，直线l过原点且交Cp于原点和点Ap．又M为x轴上异于原点的任意点，直线MAp交Cp于点Ap和Bp．求证：所有的点Bp在同一条直线上．四、（20分）对于公差为d(d≠0)的等差数列{an}，求证：数列中不同两项之和仍是这一数列中的一项的充要条件是存在整数m≥－1，使a1＝md．五、（20分）求最大的正数l，使得对任意实数a、b，均有≤．参考答案第一试一、选

5、择题：题号123456答案DBDDAB1、2、；3、4、；5、6、7n．二、填空题：1、；2、；3、；4、；5、；6、7n．1、；2、；3、；4、；5、；6、7n．第二试一、（50分）如图2，⊙O切△ABC的边AB于点D，切边AC于点C，M是边BC上一点，AM交CD于点N．求证：M是BC中点的充要条件是ON⊥BC．OBCADNM图2二、（50分）求出能表示为（a、b、c∈Z+）的所有正整数n．三、（50分）在一个（n≥2）的方格表的每个方格内填入1或－1，如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格

6、内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的．求“成功”填法的总数．参考答案第一试一、选择题：题号123456答案DBDDAB二、填空题：1、；2、；3、；4、；5、；6、7n．三、证略．四、证略．五、．第二试一、证略；二、1,2,3,4,5,6,8,9．三、1种（每空填1）．