全国2010高中数学联赛模拟试题一

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1、全国2010高中数学联赛模拟试题一　　一、选择题（本题满分36分，每小题6分）　　1.1、函数的最大值是（ ）　　A、2        B、      C、        D、3　　2.已知，定义，则（ ）　A．       B．              C．           D．　　3.已知正三棱锥P－ABC的外接球O的半径为1，且满足＋＋＝，则正三棱锥P－ABC的体积为（ ） 　　A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．　　4.已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（ ）

2、　　A、   B、3       C、      D、2　　5.已知（R），且则a的值有（ ）                                                                                  　　（A）个    （B）个    （C）个    （D）无数个　　6.平面上有两个定点A、B，另有4个与A、B不重合的的动点。若使则称（）为一个好点对。那么这样的好点对（ ）　　A．不存在   B．至少有一个   C．至多有一个D．恰有一个　　二、填空题（本题满分54分，每小题9分）　　7.不等式

3、的解集为，那么的值等于__________.　　8.定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_________.　　9.等差数列有如下性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则通项为_______________的数列也是等比数列．　　10.在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是          　　11.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不

4、同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）．　　12.已知点A(0，2)和抛物线y2＝x＋4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围                    　　三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）　　13.在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量(1) 求的取值范围;（2）若试确定实数的取值范围.　　14.已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（Ⅰ）证明：平面PAD⊥P

5、CD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD.　　15.设椭圆的方程为,线段 是过左焦点 且不与 轴垂直的焦点弦.若在左准线上存在点,使 为正三角形,求椭圆的离心率 的取值范围,并用 表示直线 的斜率.　　16.在数列中，　　（Ⅰ）试比较与的大小；　　（Ⅱ）证明：当时，.　　参考答案：　　1.B　　2.解：计算可知是最小正周期为６的函数。即得，所以＝，故选C.　　3.B　　4.B　　5.D解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有               ．所以当，且时

6、，恒有．由于不等式的解集为，不等式的解集为．因此当时，恒有.故选（D）．　6.B解：因为，所以。将区间[0，1]分成[]，三段，则中至少有两个值落在同一个小区间内（抽屉原理）。所以满足的好点对（）至少有一个。所以选B.　　7.　　8. ＝2005　　9.　　10.36π　　11.390　　12.简解：设Ｂ点坐标为（y21–4,y1），Ｃ点坐标为(y2–4,y)　　显然y21–4≠０，故kAB=(y1–2)/(y21–4)=1/(y1+2).由于AB⊥BC，所以kBC=–(y1+2).从而y–y1=–(y1+2)[x–(y21–4)],y2=x+4消去x

7、，注意到y≠y1　　　得:(2+y1)(y+y1)+1=0→y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由Δ≥0解得：y≤0或y≥4.　　当y=0时，点Ｂ的坐标为(–3,–1)；当y=4时，点Ｂ的坐标为(5,–3)，均满足题意。故点Ｃ的纵坐标的取值范围是y≤0或y≥4.　　13.【标准答案】解：因为所以，由正弦定理，得，即又所以即.   (1)=                       因此的取值范围是 (2)若则,由正弦定理，得      设=,则,      所以即     所以实数的取值范围为　　14.（I）证明：依题意知：          

8、   （II）由（I）知平面ABCD      ∴平面PAB⊥平面ABCD.在PB上取一点M，