全国2010高中数学联赛模拟试题七

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1、全国高中数学联赛模拟试题(七)(选题人:李潜)第一试一、选择题:(每小题6分,共36分)1、a、b是异面直线,直线c与a所成的角等于c与b所成的角,则这样的直线c有(A)1条(B)2条(C)3条(D)无数条2、已知f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,若f(x)-g(x)=x2+2x+3,则f(x)+g(x)=(A)-x2+2x-3(B)x2+2x-3(C)-x2-2x+3(D)x2-2x+33、已知△ABC,O为△ABC内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA=,则使AB+BC+CA≥m(

2、AO+BO+CO)成立的m的最大值是(A)2(B)(C)(D)4、设x=0.820.5,y=sin1,z=log3则x、y、z的大小关系是(A)x<y<z(B)y<z<x(C)z<x<y(D)z<y<x5、整数的末尾两位数字是(A)10(B)01(C)00(D)206、设(a,b)表示两自然数a、b的最大公约数.设(a,b)=1,则(a2+b2,a3+b3)为(A)1(B)2(C)1或2(D)可能大于2二、填空题:(每小题9分,共54分)1、若f(x)=x10+2x9-2x8-2x7+x6+3x2

3、+6x+1,则f(-1)=.2、设F1、F2是双曲线x2-y2=4的两个焦点,P是双曲线上任意一点,从F1引∠F1PF2平分线的垂线,垂足为M,则点M的轨迹方程是.3、给定数列{xn},x1=1,且,则x1999-x601=.4、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是CD中点,F是BB1中点,则四面体AD1EF的体积是.第4页共4页1、在坐标平面上,由条件所限定的平面区域的面积是.2、12个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组4人,不同组坐不同的桌子.若要求这些朋友中任意两个人至少有

4、一次同坐一张桌子,则至少需要周.三、(20分)已知椭圆过定点A(1,0),且焦点在x轴上,椭圆与曲线

5、y

6、=x的交点为B、C.现有以A为焦点,过B、C且开口向左的抛物线,抛物线的顶点坐标M(m,0).当椭圆的离心率e满足,求实数m的取值范围.四、(20分)a、b、c均为实数,a≠b,b≠c,c≠a.证明:≤<2.五、(20分)已知f(x)=ax4+bx3+cx2+dx,满足(i)a、b、c、d均大于0;(ii)对于任一个x∈{-2,-1,0,1,2},f(x)为整数;(iii)f(1)=1,f(5

7、)=70.试说明,对于每个整数x,f(x)是否为整数.第4页共4页第二试一、(50分)设K为△ABC的内心,点C1、B1分别为边AB、AC的中点,直线AC与C1K交于点B2,直线AB于B1K交于点C2.若△AB2C2于△ABC的面积相等,试求∠CAB.二、(50分)设,f(x)=(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9).求证:f(x)为一整系数多项式,且f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积.三、(50分)在圆上有21个点.求在以这些点为端点组成的所有的弧中,不超过120°的弧的

8、条数的最小值.第4页共4页参考答案第一试一、选择题:题号123456答案DACBCC二、填空题:1、4;2、x2+y2=4;3、0;4、;5、16;6、5.三、.四、证略.五、是.第二试一、60°;二、证略.三、100.第4页共4页

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