全国2010高中数学联赛模拟试题四

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1、全国高中数学联赛模拟试题（四）（命题人：刘康宁）第一试一、选择题（每小题6分，共36分）：1、函数是奇函数的充要条件是（A）－1≤a＜0或0＜a≤1（B）a≤－1或a≥1（C）a＞0（D）a＜02、已知三点A(－2,1)、B(－3,－2)、C(－1,－3)和动直线l：y＝kx．当点A、B、C到直线l的距离的平方和最小时，下列结论中，正确的是（A）点A在直线l上（B）点B在直线l上ABCDD1C1B1A1（C）点C在直线l上（C）点A、B、C均不在直线l上3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，过顶点A1在空间作直线l，使l与直

2、线AC和BC1所成的角都等于60°．这样的直线l可以做（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条4、整数的两位质因数的最大值是（A）61（B）67（C）83（D）975、若正整数a使得函数的最大值也是整数，则这个最大值等于（A）3（B）4（C）7（D）86、在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5

3、，7，9，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2003个数是（A）3844（B）3943（C）3945（D）4006二、填空题（每小题9分，共54分）：1、在复平面上，Rt△ABC的顶点A、B、C分别对应于复数z＋1、2z＋1、(z＋1)2，A为直角顶点，且

4、z

5、＝2．设集合M＝{m

6、zm∈R，m∈N+}，P＝{x

7、x＝，m∈M}．则集合P所有元素之和等于．2、函数f(x)＝

8、sinx

9、＋sin42x＋

10、cosx

11、第4页共4页的最大值与最小值之差等于．3、关于x的不等式的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和

12、小于4，则实数a的取值范围是．4、银行计划将某项资金的40%给项目M投资一年，其余的60%给项目N．预计项目M有可能获得19%到24%的年利润，N有可能获得29%到34%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为使银行的年利润不少于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是．5、已知点(a,b)在曲线arcsinx＝arccosy上运动，且椭圆ax2＋by2＝1在圆x2＋y2＝的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsinb的取值范围是．6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正

13、三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为a、b，则tan(a＋b)的值是．一、（20分）△ABC的三边长a、b、c（a≤b≤c）同时满足下列三个条件（i）a、b、c均为整数；（ii）a、b、c依次成等比数列；（iii）a与c中至少有一个等于100．求出(a,b,c)的所有可能的解．二、（20分）在三棱锥D-ABC中，AD＝a，BD＝b，AB＝CD＝c，且∠DAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°，∠DBA＋∠ABC＋∠DBC＝180°．求异面直线AD与BC所成的角．三、（20分）设正系数一元二次方程ax

14、2＋bx＋c＝0有实根．证明：（1）max{a,b,c}≥(a＋b＋c)；（2）min{a,b,c}≤(a＋b＋c)．第4页共4页第二试一、（50分）已知△ABC的外角∠EAC平分线与△ABC的外接圆交于D，以CD为直径的圆分别交BC、CA于点P、Q．求证：线段PQ平分△ABC的周长．二、（50分）已知x0＝1，x1＝3，xn+1＝6xn－xn-1（n∈N+）．求证：数列{xn}中无完全平方数．三、（50分）有2002名运动员，号码依次为1，2，3，…，2002．从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另

15、外两人的号码数的乘积．那么被选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选取方案，并简述理由．第4页共4页参考答案第一试一、选择题：题号123456答案CDBACB二、填空题：1、；2、；3、[1,3]；4、10%；5、；6、．三、可能解为(100,100,100)，(100,110,121)，(100,120,144)，(100,130,169)，(100,140,196)，(100,150,225)，(100,160,256)，(49,70,100)，(64,80,100)，(81,90,100)，(100,100,100)．四、．五（

16、1）证略（提示：令a＋b＋c＝t，分b≥和b＜讨论）；（2）证略（提示：分a≤和a＞讨论）；第二试一、证略；二、证略（提示：易由特征根法得xn＝，设yn＝，于是，原结论等价于方程x4－2y2＝