2015年北京大学博雅计划数学试题及答案.doc

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1、2015年北京大学博雅计划数学试题一、选择题（本题共5小题，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确选项的代号填在括号中，选对得10分，选错扣5分，不选得0分．）1．已知n为不超过2015的正整数且1n+2n+3n+4n的个位数为0，,则满足条件的正整数n的个数为（）A．1511B．1512C．1513D．前三个答案都不对2．在内切圆半径为1的直角三角形ABC中，∠C=900，∠B=300，内切圆与BC切于D，则A到D的距离AD等于（）A．B．C．D．前三个答案都不对第2题图第3题图3．正方形ABCD内部一点P满足PA:PB:PC=1:2:3，则∠APBÐ等于（）A．1

2、200B．1350C．1500D．前三个答案都不对4．满足，的正整数对（x,y）的个数为（）A．12B．15C．18D．前三个答案都不对5．已知，且，则可能为（）A．126B．144C．162D．前三个答案都不对二、填空题（本题共5小题，请把每小题的正确答案填在横线上，每题10分．）6．设为复数，表示的共轭，已知且为纯虚数，则的值为_______．7．椭圆的一条切线与x,y轴交于A、B两点，则三角形AOB的面积的最小值为_______．8．已知，则的最小值是_______．9．已知点集，则平面直角坐标系中区域M的面积为_______．10．现要登上10级台阶，每次可以登1级或2级

3、，则不同的登法共有_______种．2015年北京大学博雅计划数学试题参考答案一、选择题1、B．提示：n模4余1,2,3均可．2、D．提示：利用面积确定三边长，答案为3、B．提示：如图旋转将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE，∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BEC，∴△BEC≌△BPA，∠APB=∠BEC，∴△BEP为等腰直角三角形，∴∠BEP=45°，∵PB=2，∴PE=2∵PC=3，CE=PA=1，∴PC2=PE2+CE2，∴∠PEC=90°，∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．4、D．提示：，因此(x,y)共有14对．5、C．提

4、示:注意二、填空题6、或．提示:根据已知，其中r为，，因此r=或，对应的或．7、ab．提示：仿射变换．8、1/2提示：注意题中方程为两条互相垂直的直线．9、2+提示：如图10、89.提示：递推．登上第1级：1种登上第2级：2种登上第3级：1+2=3种（前一步要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来）登上第4级：2+3=5种（前一步要么从第2级迈上来，要么从第3级迈上来）登上第5级：3+5=8种登上第6级：5+8=13种登上第7级：8+13=21种登上第8级：13+21=34种登上第9级：21+34=55种登上第10级：34+55=89种．故答案为：89．