北京大学2018年博雅计划数学真题.doc

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1、北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。1.设n为正整数，为组合数，则等于（）A.B.2018！C.D.前三个答案都不对【答案】D解析：，，故选D。2.设a，b，c为非负实数，满足a+b+c=3，则a+ab+abc的最大值为（）A.3B.4C.D.前三个答案都不对【答案】B解析：，对其求导得到时取最大值为4。3.一个正整数称为具有3-因数积性质若n的所有正因数的乘积等于，则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为（）A.55B.50C.51D

2、.前三个答案都不对【答案】C9解析：设的所有正因数的乘积为T，即。显然符合题意；下面证明当时，正整数的质因数的个数最多为2：假设的质因数的个数大于或等于3，即的全部质因数为，并设，则的所有正因数的乘积中，至少在这些因子中出现，即出现的次数大于或等于4，这样T，这与题意矛盾，所以假设不成立，即的质因数的个数最多为2。若只有一个质因数，设，则，此时只有质数满足；若有两个质因数，设，此时，解得，即：取2时有24个取值，取3时有13个取值，取5时有5个取值，取7时有3个取值，取11时有2个取值，取13时有1个取值；综上，所求总个数=1+2+24+13+5+3+2+1=51个。1.

3、已知复数，，则的最小值为（）A.2B.C.D.前三个答案都不对【答案】B解析：，，，取等条件为：。2.设A是不超过2018的正整数组成的集合，对于正整数k，用表示所有可能的A中k9个数乘积的倒数之和，则的值为（）A.1B.C.D.前三个答案都不对【答案】C解析：，，两式相加即得。1.已知实数a,b,c成公差非0的等差数列，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-3，2），点N的坐标为（2，3），过点P作直线ax+by+c=0的垂线，垂足为点M，则M,N间的距离的最大值与最小值的乘积是（）A.10B.C.D.前三个答案都不对【答案】A解析：由等差中项性质得，可见直线ax+by+

4、c=0过定点，设垂足，则，即点M在圆T：上，点N到圆心T的距离，所以。2.设是4036个实数，互异，满足对任意的都有=2018，则对任意的的值为（）A.2018B.-2018C.不能确定D.前三个答案都不对【答案】B解析：由恒成立可得：，上式两边令即得。91.用[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[π]=3,[-π]=-4.设n为正整数，用表示当时，函数的值域中的元素的个数，则使得最小的n的取值为（）A.63B.1009C.2018D.前三个答案都不对【答案】A解析：令，当时；时，则，有k个取值；，所以，当时最小，而，，故n=64时最小，选D。2.已知的面积为1，D,E

5、分别为边BC,CA上的点，且,,AD和BE交于点P，则四边形PDCE的面积是（）A.B.C.D.前三个答案都不对【答案】B解析：，又。比较两式得，所以。91.设实数x,y满足，则的最小值为（）A.B.C.D.前三个答案都不对【答案】C解析：表示椭圆上动点到定点与定点的距离之和，F为椭圆右焦点，设左焦点为，则。2.设关于的方程有3个互不相同的实根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.前三个答案都不对【答案】D解析：，，要使原方程有三个互不相等实根，则或，解得，故选D。3.把正整数中的非完全平方数从小到大排成一个数列，例如，，，，，…，则的值为（）A.2061B.2062C

6、.2063D.前三个答案都不对【答案】C解析：，即小于2018的数中共有44个完全平方数，所以9，（2025是完全平方数，不在该数列中）。1.15人围坐在圆桌旁，从中选出4人使得其中任意两人都不相邻的选法数为（）A.1820B.450C.360D.前三个答案都不对【答案】B解析：从15人中任选4人的方法总数为：若选出的4个人刚好顺序相邻，情况种数=15；若选出的4人中有3人顺序相邻，其余1人与他们隔开，情况种数=；若选出的4人可分成两两一组，其中每组内部两人相邻，但整体两组不相邻，情况种数=；若选出的4人中只有两人相邻，其他两人跟他们彼此不相邻，情况种数=。综上，所求4人

7、使得其中任意两人都不相邻的选法数=。2.从不超过2018的正整数中任取3个数使得不包含两个连续的数，则这样的取法种数是（其中表示组合数）（）A.B.C.D.前三个答案都不对【答案】A解析：从2018个数中任取3个数的方法总数为：若取出的三个数均相邻，情况数=2016；若取出的三个数只有两个数相邻，情况数=；综上，所求方法种数=。3.设集合S中有10个元素，从S中每次随机选取1个元素，取出后还放回S中，则取5次后出现重复元素的概率是（保留两位有效数字）（）A.0.50B.0.55C.0.70D.前三个答案都不对【答案】C9解析：