北京大学数学考研真题

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1、北京大学20051设,试求和.解:当然此上极限可以令.此下极限当然可以令1.(1)设在开区间可微,且在有界。证明在一致连续.证明:由存在.这显然就是(2)设在开区间可微且一致连续,试问在是否一定有界。(若肯定回答,请证明;若否定回答,举例说明)证明:否定回答.闭区间上连续函数一致连续.所以显然此而3.设.(1)求的麦克劳林展开式。(2)求。解:这道题目要是直接展开是很麻烦的.先对原式做一下变形.有.又由于比较系数有:,接下来,若中,此时令有。同理可得:,。综合得:4.试作出定义在中的一个函数,使得它在原点处同时满足以下三个条件:(1

2、)的两个偏导数都存在;(2)任何方向极限都存在;(3)原点不连续解:。显然这个函数在的时候,有偏导数存在,而对于的时候,有,此式在原点也成立。对于任意方向极限,有。显然沿任意方向趋于原点。此函数的方向极限都存在。最后,因为沿不同方向趋向原点。不妨设有不同的极限。且其都不为0。所以该函数在原点不连续。5.计算.其中是球面与平面的交线。解:首先,曲线是球面与平面的交线。因为平面过原点,球面中心为原点。所以它们的交线是该球面上的极大圆。再由坐标的对称性。易知有。因此有===。6.设函数列满足下列条件:(1),在连续且有()(2)点点收敛于

3、上的连续函数证明:在上一致收敛于证法1:首先,因为对任意。且有,所以,对于任意,有。又因为在点连续。所以可以找到,当时。有,以及同时成立。因此,当,时,有。如此,令,所以有开区间族覆盖了区间。而在闭区间上连续。由Heine-Borel定理,从开区间族中可以选出有限个,使。由的选法。可由相应与,当,且时,有。取,当时,且,有成立。所以在上一致收敛于。证毕。证法2:反证法.设存在某,对于任意,有一,使得.又有界,由Bolzano-Weierstrass定理,所以其必存在     收敛子列收敛于中某值.因为对任意。且有,所以,当时,有.设

4、某,由与连续性.存在一,当时     有同时成立.显然,又因为.所以存在值,.     当时,成立.最后,当时,有     <.这与假设矛盾.     所以在上,是一致收敛于.证毕.

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