北京大学数学考研真题

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1、北京大学20051设，试求和.解:当然此上极限可以令.此下极限当然可以令1.(1)设在开区间可微，且在有界。证明在一致连续.证明:由存在.这显然就是(2)设在开区间可微且一致连续，试问在是否一定有界。（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明）证明:否定回答.闭区间上连续函数一致连续.所以显然此而3．设.(1)求的麦克劳林展开式。(2)求。解:这道题目要是直接展开是很麻烦的.先对原式做一下变形.有.又由于比较系数有：，接下来，若中，此时令有。同理可得：，。综合得：4．试作出定义在中的一个函数，使得它在原点处同时满足以下三个条件：（1

2、）的两个偏导数都存在；（2）任何方向极限都存在；（3）原点不连续解：。显然这个函数在的时候，有偏导数存在，而对于的时候，有，此式在原点也成立。对于任意方向极限，有。显然沿任意方向趋于原点。此函数的方向极限都存在。最后，因为沿不同方向趋向原点。不妨设有不同的极限。且其都不为0。所以该函数在原点不连续。5．计算.其中是球面与平面的交线。解：首先，曲线是球面与平面的交线。因为平面过原点，球面中心为原点。所以它们的交线是该球面上的极大圆。再由坐标的对称性。易知有。因此有===。6．设函数列满足下列条件：（1），在连续且有（）（2）点点收敛于

3、上的连续函数证明：在上一致收敛于证法1：首先，因为对任意。且有，所以，对于任意，有。又因为在点连续。所以可以找到，当时。有，以及同时成立。因此，当，时，有。如此，令，所以有开区间族覆盖了区间。而在闭区间上连续。由Heine-Borel定理，从开区间族中可以选出有限个，使。由的选法。可由相应与，当，且时，有。取，当时，且，有成立。所以在上一致收敛于。证毕。证法2：反证法.设存在某，对于任意，有一，使得．又有界，由Bolzano-Weierstrass定理，所以其必存在　　　　　收敛子列收敛于中某值．因为对任意。且有，所以，当时，有．设

4、某，由与连续性．存在一，当时　　　　　有同时成立．显然，又因为．所以存在值，．　　　　　当时，成立．最后，当时，有　　　　　＜．这与假设矛盾．　　　　　所以在上，是一致收敛于．证毕．