导数的概念及其几何意义(理 同步).doc

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1、导数的概念及其几何意义:知识回顾1.函数的概念？设4、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系/，使对于集合A中的任意一个数兀，在集合B中都有唯一确定的数/（£和它对应，那么就称f：AtB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f（x>.xeA,其中，兀叫做自变量，兀的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f（x）x^A｝］叫做函数的值域.2.判断函数的单调性有哪几种方法？定义法、图象法、复合函数的单调性结论：“同增异减''等.二知识讲解—、导数的概念1.函数的平均变化率：一・般地，已知函数y=/（x）,x0,X］是其定义域内不同的两点

2、，记Ax=X）-x0,△y=yt-y0=/（占）一/（如）=/（无+3-f（xo），则当心工0时，商,/凶+山）_・/如=冬称作函数y=/（x）在区间此，无+心］（或AxAxk0+Ar,x0］）的平均变化率.注：这里心，心可为正值，也可为负值.但心H0,可以为0・2.函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数y=/（x）在瓦附近有定义，当自变量在x=x0附近改变量为Ax时，函数值相应的改变△歹=/（无+心）-/（如）・如果当Ar趋近于0时，平均变化率鱼=./3心）_/如趋近于一个常数/（也就是说平均变AxAx化率与某个常数/的差的绝对值越來越小，可以小于任意小的正数），那么常数/称

3、为函数/（尢）在点X。的瞬时变化率.“当从趋近于零时，i包+27加趋近于常数/”可以用符号“一>”记作：Ar“当Ax->0时，/曲山）-/凶）一/„,或记作“1血/匕+山）一/（直=广,符号读作“趋Z22/Sx近于''・同步课程.导数的概念及其几何意义函数在观的瞬时变化率，通常称为.f（x）在x=x0处的导数，弄记住/'（兀）.这时又称/"（兀）在X=xo处是可导的.于是上述变化过程，可以记作“当加T0吋,心心）7代）Tf匕），或,lim皿+心）7代）=/，（兀），，.Arst°Ar1.可导与导函数：如果/（兀）在开区间（d,b）内每一点都是可导的，则称/（x）在区间（a,b

4、）可导.这样，对开区间ab）内每个值无，都对应一个确定的导数广（尢）.于是，在区间（a,b）内，.厂（无）构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=.f（x）的导函数.记为广⑴或（或儿'）・导函数通常简称为导数.如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数.二、导数的几何意义1.导数的几何意义：设函数尸/（x）的图象如图所示•AB为过点A（x0,/（x0））与B（x0+Ax,/（x0+Ax））的一条割线.由此割线的斜率是怂=./g+M-/（氏）,可知曲线割线的斜率就是函数的平均变ArAr化率.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点人转动，它的最终位置为直线AD,

5、这条直线AD叫做此曲线过点4的切线，即曲丿凶"2/色）=切线AD心一》°Ax的斜率.由导数意义可知，曲线y=/d）过点（兀，/（兀））的切线的斜率等于/'（兀）.2.求曲线的切线方程若曲线y=fW在点户（兀。，儿）及其附近有意义，给横坐标X。一个增量x,相应的纵坐标也有一个增量y=/（x0+x）-/（x0）,对应的点（2（兀・^+y）•则P0为曲线y=fW的割线•当xtO时QtP,如果割线P0趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线PQ的斜率丿就趋近于切线的斜率.X切线的方程为y-3?o=公（兀-兀。）•题型一、导数的概念【例1】如图，函数.f(x)

6、的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则/(/(0))=；函数/(兀)在兀=i处的导数r(i)=•VAAc4///—1/1/0123456【例2】求函数y=在-r0到兀+心之间的平均变化率.【例3】求函数f(x)=-x24-x在兀=-1附近的平均变化率，在兀=-1处的瞬时变化率与导数.【例4】求y=4^在兀=兀（）处的导数.题型二、导数的几何意义【例5】已知曲线j=7%+-±一点4（1,2）,用斜率定义求:（1）过点力的切线的斜率；（2）过点4的切线方程.【例6】函数/（X）的图象如图所示，下列数值排序止确的是（）A.0

7、(2)