北京市第四中学高考理科数学总复习例题讲解：高考数学思想方法与策略专题03分类讨论的思想.doc

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1、分类讨论的思想北京四中吕宝珠一、高考真感悟已知函数f&)=3&』一2(%+1)/+4兀(1)当&=£时，求£(0的极值;(2)若在(-1,1)上是增函数，求&的取值范围.解(1)尸(x)=4(^—1)+3^—1).当日=右时，f(0=2(x+2)(x—1)',6/.f(x)在(一8,—2)内单调递减，在(一2,+8)内单调递增,・••当x=—2时，f(0有极小值，・•・fg的极小值是A-2)=-12.(2)在(一1,1)上，代x)是增函数当且仅当F(x)=4(y—1)(3ax+3亦一1)MO,即+3^—K0.①

2、a.当&=0时，①恒成立.b.当&>0时，若要①成立，则需岚・12+3

3、不等式进行研究.(3)忽视分类讨论或讨论不到位是本题出错的关键.二、思想方法概述1.分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将人问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度.2・分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.(2)

4、由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前/7项和公式、函数的单调性等.(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等.(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置碍要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等.(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参

5、数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.3.分类讨论的原则(1)不重不漏.(2)标准要统一，层次要分明.(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.4.解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论.(2)对所讨论的对象进行合理的分类.(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决.(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.三、热点分类突破题型一根据数学

6、概念分类讨论例1.LL知二次函数y=g(^)的导函数的图象与直线y=2x平行，0-(r)且y=g{x)在x=—处取得极小值///—1(/〃H0).设f(x)==—.X(1)若曲线上的点戶到点0(0,2)的距离的最小值为、问，求/〃的值；(2)AIkUR)如何取值时，方程f{x)-kx=0有解，并求出该方程的解.解(1)依题可设g(x)=a(x+l)2+m—l@H0),则g‘(x)=2日(/+1)=2m+2c,又@3的图象与直线y=2x平行，・・・2&=2,爲=1,=(x+l)'+/w—l=x+2x+/〃，f{

7、x)=c3=卄色+2.xx设Pgjo),则P(J=x^+(必一2)"=怎+(乂+彳)2=2怎+予+2〃&2迈乃+2加=2迈

8、/7/

9、+2/77,2当且仅当2怎=刍时，/V取最小值，即〃取得最小值当刃>0时，彳(2迈+2)心返,解得777=^2-1；当〃K0时，p(-+2),解得/〃=_寸^_1.⑵由尸曲—滋=(1_心+丫+2=0(好0),得(1—W)才+2x+/〃=0(*)当Q1时，方程(*)有一解尸一贵当后M时，方程(*)有两解O4=4—4/〃(1—斤)>0,当/〃>0,k>1—丄或者〃K0,k

10、m方程f(x)—kx=O有两解x=_2土寸4_4刃仃_加2(1_Q当E时，方程(*)有一解i=4—加(1—力=0,Ql—占方程f(x)—kx=Oy有一解x=Wj=—也综上，当斤=1时，方程fg—kx=0有一解x=-巻、当k>X-W0),或2-片(〃K0)时,方程f(x)—kx=Q有两解x=—£±04—4加(1—&)2(1—&)当&=1一丄时，方程f｛x)—kx=0有一解x=—in.m