北京市第四中学高考理科数学总复习例题讲解：高考数学思想方法与策略专题01函数与方程思想

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1、函数与方程的思想北京四中吕宝珠一、【高考真题感悟】3x+2,K1,已知函数/(%)=,.、若f(f(0))=4日，则实数a=_x~vax,/Ml,解析・・・f(f(O))=f(2)=4+2白，・・・4+2$=40e?=2.考题分析本小题考查了函数与方程的有关内容，体现了函数与方程的转化，突出了函数与方程思想的应用.易错提醒(1)函数是分段函数，在求函数值时，注意自变量所在区间.(2)准确构建方程，计算要正确.二、思想方法概述函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系.函数与方程的思想是屮学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来

2、解决问题，是历年高考的重点和热点.1.函数的思想用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识.4.函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y=fU,当y>0时，就化为不等式/U)>0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前〃项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析儿何屮的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方

3、程与二次函数的有关理论.（4）立体儿何屮有关线段、角、而积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与两数的关系更加密切.三、热点分类突破题型一函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用例1已知实数a>b>cfa+b+c=1,才+〃+d=l,求a~~b与的范围.解由日+b+c=1可得a+b=—c,由a+l）+c=1可得（日+Z?）2—2ab+c~1=0即（1—c）2-2M+d-l=0故ab=c—c,且a+b=1—c.构造一个一元二次方程X—（1—c）x+c—c=0,a,b是该方程的两个不相等的根，且两根都大于c,

4、令fU=x2-a-c）x+c2-c,（二次函数根的分布）则图象与/轴有两个交点且都在（c,+<-）内的充分必要条件：'4=(c—I)2—4(c2—c)>01—c<>/?2、f(Q)=3d-2c>0解得：一48所以，1〈1—-即a+b^探究提高（1）求字母（式子）的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母（式子）为元的方程（组），然后由方程（组）求得.（2）求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析儿何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式（组）求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参

5、数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域.(1)当问题屮出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决.(2)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式,那么就可用研究函数的方法将问题解决.变式训练1曰、Z?是正数，且满足日方=日+力+3,求日Z?的取值范圉.解方法一(看成函数的值域)・.・臼方=臼+方+3,井1,./白+3…b—,而方＞0,&+3a~1>0,即a>l或a<—3,又曰>0,・・・自〉1,故kl>0..,日+3（日一1）'+5（日

6、一1）+4••日方=ci■7=a—1a—1=（日一1）+—^y+529.a—14当且仅当即I时取等号.4又^时，(.-D+^+5是关于々的单调增函数.・・・劝的取值范围是上有解，求自的取值范围.思维启迪可分离变量为日=一cos5r+sin从转化为确定的相关函数的值域.解方法一把方程变形为5=—cos2%+sinx.设/（%）=—cos2%+sinx（xE.（0,显然当且仅当臼属于f(方的值域时，a=fg有解.*.*f(x)=—(1—sin2%)+sinx=(sin且由/丘（0,—sinxW（0,1]・易求得f3的值域为（-1,11.故自的取值范围是（-1,11.方

7、法二令Z=sinx,由无丘（0,—],可得te（0,1].将方程变为r+t-i-a=o.依题意，该方程在（0,1]上有解.设f（t）=F+其图象是开口向上的抛物线，对称轴f=-

8、,如图所示.因此f&）=0在（0,1]上有解等价于仏J〉。，[-l-a<0即.，[1一心0・•・一1X1.故曰的取值范围是（一1,1]・探究提高研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路:一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决.题型三函数与方程思