北京市第四中学高考理科数学总复习例题讲解：统计案例03变量的相关性

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1、变量的相关性北京四中李伟知识讲解一、变量间的相关关系变暈Z间存在着两种关系：一类是确定的函数关系；一类是非确定的关系，有随机性正相关两个变量的总体变化趋势一致相关关系量知识和能力收入水平与其科技文化素质风险与利润负相关两个变量的总体变化趋势相反儿童的铅指标与智商家庭用于消费的资金与储蓄的资金数散点图直观描述两个变量之间是否具有相关关系的图形某地10户家庭的年收入与年饮食支出表（单位：万元）收入24466677810支出0.91.41.62.02」1.91.82」2.22.3二、两个变量的线性相关线性相关散点图中的点大致分布在一条直线附吗非线性相关人的脂肪含量与年龄之间的关系1•回归直线“最

2、贴近”这些已知的数据点的直线记直线为y=a+bx,其中$表示计算值（估计值）.当x=xf时得到观测值（实际值）为必.方程尸a+b兀称为y对x的回归直线方程，b叫做回归系数.2•回归直线的求解如何用数学语言来刻画“与这些个点最贴近”？g(x-9,)2。=亍[必-@+舛)Fi=I=工(X+/+b~x^-2bxiyi-2ayi+2abxi)1=1nhnn〃=KV：+nal+工€一2b工xiyi一2ay.+2ab工乞i=li=li=l/=!i=l=na2-2an(y-bx)+胪£xf-2b£xiyi+£yf=na2-2an(y-bx)+n(y-bx)2-n(y-bx)2+i=lZ=1i=l=n[a

3、-(y-bx)^-n(y-bx)2+HHH货£近-2逍<=1/=!i=tybny2=n[a-(J-6x)]2+£兀/、2—2}-nxIi=l);=I丿b—nE?—9xr-nx^1=1工兀』•一饭丁I㈢丿工x：-lix11=1?/n[a-(y-bx)]~工(£-xk/=ltyhny21=1立Db-可b—_1=1(H工兀』-戰y/=!£x：-nx21=1上式中最后两项与a,b无关，当且仅当前两项均为0时取最小值，即HH工（无一元）（必—刃工无％-nxyb—口一/=,£（兀一元『応2/=1i=la=y-bx其中a,b上方加/”表示时由观测值按最小二乘法求得的估计值3•回归直线模型的应用（1

4、）预测，内插预测和外推预测（2）控制，典型例题例1.对变量x,y有观测数据（兀,牙）（i二1,2,...,10）,得散点图1;对变量u,v有观测数据（址，儿）（i二1,2,...,10）,得散点图2.由这两个散点图可以判断■axo252015in6040W2010・0L图1与v正相关负相关正相关负相关A.变量x与y正相关,B.变量x与y正相关,C.变量x与y负相关,D.变量x与y负相关,答案：例2•给出了随机抽取的10位男性的收缩血压.年龄x（岁）收缩压y（毫米汞柱）年龄x（岁）收缩压y（毫米汞柱）3711()50146351174914841125541504313()601544213

5、865160（1）画出散点图；（2）求出收缩压与年龄之间的回归直线；（3）利用所求回归直线分别预测20岁、45岁的人的收缩压是多少?(4)就(3)所得预测结果，比较其预测的精确性。解析：练习身高x(cm)和体重y(kg)之间通常也被认为有相关关系，并有结论y=x—105的近似结论。请验证。