(5).训练题(五)解答.doc

《(5).训练题(五)解答.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、一、从集合中取出一个子集，使得的任两个不交的子集的元素和各不相同，求的最大值．解：对于任一实数集，用表示的元素和，记，若，考查的四元及四元以下的非空子集，其元素和，而的非空的四元及四元以下的子集有个，其中必有互异的两个子集，，使，（由于、的元素和相等，故其互不包含），今去掉，中的公共元素，得非空子集，，且，矛盾！所以．因为中的任意五个元素之和不大于，故若证得，当取最大时，则，令，则，以下证，中任两个不交的子集具有不同的和；由于是元集，故若其两个子集的元素个数之和大于，则这两个子集必定相交，二、求所有正整数组，

2、满足：、，（约定）、解：由，，由于，得，，4令，得，，，又由，，又，由，，，，得，，这时已有，故所求的唯一解为，．三、设，令，证明：先证引理：设，且，则，取等号当且仅当诸全相等；证：据柯西不等式，，由，得，整理即得到回到本题，在引理中令，则，由于，则据引理得，即4[]将这个不等式两边分别展开，整理得到，再将这个不等式移项整理得，（取等号当且仅当诸全相等）．四、如果正整数集的所有元素可以排成一个等差数列，则称为算术集；证明：所有使方程没有正整数解的正整数所构成的集合，不能表示成有限多个算术集的并．证：反证法，设

3、正整数所构成的集合，能表示成有限多个算术集的并．、先证明：这些等差数列都只有有限多个项；事实上，若含有等差数列，其中为给定的正整数；因为当时，，所以；其次，对于任何，由，可得，所以，今取，使且，则，因此有正整数使；另一方面，由于，矛盾！这表明，集只能是有限个有限项等差数列的并集，因此集中只能含有有限个数；、另一方面，我们又可证明，集中含有无限多个数；4构造法，对任意正整数，取，我们将证明，，即要证，方程…①无正整数解；事实上，若方程①有解，记最大公约数，，则，且，即……②注意由得，，于是，所以，，其中有一个为

4、，故，得，因此，即②不能成立，故①无解．也就是集中含有无限多个数，矛盾！从而本题结论成立．4